Mamotoja.pl
type: channel
link: https://mamotoja.pl
date: 2026-07-14T18:16:06.000Z
update period: hourly
update frequency: 1
update base: 2000-01-01T12:00+00:00
items: Walec a cylinder – czym się różnią i kiedy ich używać
items: Walec matura: wzory, zadania i praktyczne wskazówki
items: Średnica koła – definicja, wzory i szybkie obliczenia
items: Jak obliczyć średnicę koła z obwodu – wzór i przykłady
items: Promień a średnica koła: różnice, wzory i przykłady
items: Równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: jak je rozwiązać
items: Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: zadania i rozwiązania
items: Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: wzór i przykłady
items: Jak obliczyć pierwiastek z 3: proste sposoby i przykłady
items: Pierwiastek z 3: wartość, przybliżenie i znaczenie matematyczne
items: Wzór na obwód koła z przykładami i objaśnieniem
items: Jak obliczyć obwód koła z promienia – wzór i przykłady
items: Jak obliczyć obwód koła znając średnicę i wzór π
items: Wzór na obwód koła: definicja, przykłady i obliczenia
items: Egzamin ósmoklasisty 2026: matematyka. Są pierwsze przecieki, tak mogą wyglądać arkusze CKE
items: 1 kg to ile dekagramów? Jak łatwo przeliczyć kg na dag
items: Znak większości na klawiaturze: jak wpisać i rozwiązać problemy
items: Znak większości i mniejszości: znaczenie, zasady, przykłady
items: Znak mniejszości: definicja, zastosowanie i przykłady
items: Znak większości: co oznacza i jak go stosować w matematyce
items: Policz, ile trójkątów jest na obrazku. Tylko mistrz poda dobry wynik w 15 sekund
items: Matura 2026: o ile wzrosła lokata w banku? To zadanie z haczykiem przerasta dorosłych
items: Pod żadnym pozorem nie rób tego przed wejściem na maturę. Unieważnią egzamin
items: Są już pierwsze przecieki matury z matematyki. W sieci krążą zdjęcia arkuszy
items: Zagadka: ile trójkątów jest na obrazku? Mało kto znajdzie wszystkie

Walec a cylinder – czym się różnią i kiedy ich używać
type: item
date: 2026-07-14T18:15:43.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Walec a cylinder to ta sama bryła w geometrii. Sprawdź różnice w nazewnictwie, definicję i wzory na objętość oraz pole powierzchni.
encoded: W geometrii chodzi o tę samą bryłę: ma dwie równoległe, kołowe podstawy i powierzchnię boczną, a jej objętość oraz pole powierzchni liczy się zawsze według tych samych wzorów). W szkolnych zadaniach najczęściej pojawia się nazwa „walec”, bo to ona funkcjonuje jako oficjalne określenie figury. „Cylinder” częściej słychać poza klasą, w technice, fizyce i codziennych rozmowach o przedmiotach mających taki kształt, jak szklanka, świeca czy wałek do ciasta. Różnica nie dotyczy więc samej bryły, ale tego, w jakim kontekście i z jakiego przyzwyczajenia językowego używamy danego słowa. Walec a cylinder: najkrótsza odpowiedź Walec i cylinder to ta sama bryła geometryczna. Różnica nie dotyczy kształtu, tylko słowa, którego używamy. W matematyce i w szkole częściej mówi się walec, a w technice oraz w codziennym języku częściej pojawia się cylinder. Jeśli więc zastanawiasz się, jaka jest różnica między walcem a cylindrem, odpowiedź brzmi: w geometrii jej po prostu nie ma. Definicja walca w geometrii Definicja walca w geometrii jest prosta: to bryła przestrzenna, która ma: dwie równoległe, identyczne podstawy w kształcie koła), powierzchnię boczną łączącą obie podstawy, w najczęściej spotykanej wersji prostą oś prostopadłą do podstaw. Walec powstaje przez obrót prostokąta wokół jednej z jego krawędzi. To właśnie dlatego ma tak charakterystyczny, „rolkowy” kształt. Najczęściej w zadaniach szkolnych pojawia się walec prosty, czyli taki, w którym podstawy są prostopadłe do osi). To ten model zwykle mamy na myśli, gdy mówimy o bryle na lekcjach matematyki. Kiedy używać słowa „walec”, a kiedy „cylinder” Najprościej kierować się kontekstem. Słowo „walec” warto stosować, gdy mowa o: geometrii, zadaniach szkolnych, wzorach na objętość i pole powierzchni, oficjalnym nazewnictwie bryły matematycznej. Słowo „cylinder” częściej pasuje do: techniki, fizyki, opisu przedmiotów i elementów maszyn, codziennej rozmowy. W praktyce oznacza to, że na sprawdzianie z matematyki lepiej napisać walec, a…

geometria-obliczenia-4-cf7da1b.jpg
width: 1600
height: 1200

Walec matura: wzory, zadania i praktyczne wskazówki
type: item
date: 2026-07-14T17:15:21.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Walec matura bez stresu: poznaj wzory, odróżniaj pole boczne od całkowitego i szybko licz objętość oraz przekrój osiowy.
encoded: W zadaniach z geometrii przestrzennej ta bryła pojawia się regularnie, a punkty najłatwiej zdobyć wtedy, gdy od razu rozpoznajesz jej elementy: promień, wysokość, podstawy i przekrój osiowy. Walec nie jest trudny, ale wymaga uważności, szczególnie przy odróżnianiu pola bocznego od całkowitego oraz przy sprawdzaniu, czy w danych podano promień, czy średnicę. Na maturze liczy się nie tylko znajomość wzorów, lecz także sprawne podstawianie danych i dobre czytanie polecenia. Pomaga prosty schemat działania: oznaczyć wielkości, dobrać właściwy wzór i pilnować jednostek. Dzięki temu nawet bardziej rozbudowane obliczenia stają się znacznie łatwiejsze do uporządkowania. Walec na maturze: co trzeba rozpoznawać w zadaniu W zadaniach typu walec matura najważniejsze jest szybkie wychwycenie, z jaką bryłą masz do czynienia i jakie elementy są podane. Walec ma dwie przystające kołowe podstawy, a jego wysokość to odległość między tymi podstawami. Można też pamiętać, że to bryła obrotowa powstająca z obrotu prostokąta wokół jednej z jego krawędzi. Na początku warto zaznaczyć na rysunku: promień podstawy (r), wysokość walca (h), ewentualnie średnicę (d), pamiętając, że (d = 2r). W wielu poleceniach nie pada wprost słowo „promień”, tylko pojawia się średnica albo informacja o przekroju. Dlatego dobrze od razu sprawdzić, czy dane dotyczą: pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości, albo wyznaczenia brakującego wymiaru. To porządkuje dalsze liczenie i zmniejsza ryzyko podstawienia danych do złego wzoru. Wzory na walec, które trzeba znać na maturę Najważniejsze wzory na walec dobrze mieć opanowane bez zaglądania do notatek: pole podstawy: (P_p = π r^2) objętość walca: (V = π r^2 h) pole powierzchni bocznej: (P_b = 2π rh) pole powierzchni całkowitej: (P_c = 2π r(r + h)) Warto zauważyć prostą zależność: pole całkowite to suma dwóch podstaw i powierzchni bocznej. Dzięki temu łatwiej zapamiętać, skąd bierze się wzór, zamiast uczyć się go mechanicznie. Przy zadaniach maturalny…

geometria-obliczenia-1-5d1995b.jpg
width: 1600
height: 1200

Średnica koła – definicja, wzory i szybkie obliczenia
type: item
date: 2026-07-14T05:15:43.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj średnicę koła, wzory i praktyczne sposoby obliczeń. Sprawdź, jak szybko wyliczyć ją z promienia, obwodu lub pola bez błędów.
encoded: To jeden z tych szkolnych i praktycznych tematów, które wracają częściej, niż się wydaje. Średnica koła przydaje się nie tylko na lekcji matematyki, ale też przy zwykłym mierzeniu pokrywki, talerza czy koła w rowerze. Warto ją dobrze rozumieć, bo pozwala szybko powiązać ze sobą promień, obwód i pole. Sama zasada jest prosta: to odcinek przechodzący przez środek koła i łączący dwa punkty na jego obwodzie. Znając jeden parametr, można bez trudu wyliczyć pozostałe, a przy pomiarach uniknąć typowych pomyłek, takich jak mylenie promienia ze średnicą czy użycie niewłaściwego wzoru. Co to jest średnica koła Średnica koła to najdłuższy odcinek, który łączy dwa punkty na obwodzie i przechodzi przez środek koła. To szczególny rodzaj cięciwy. Najczęściej oznacza się ją literą d. W praktyce to bardzo wygodny wymiar, bo pozwala szybko określić wielkość koła i łatwo przeliczać inne wartości, takie jak promień, obwód czy pole. Długość średnicy podaje się w tych samych jednostkach co inne wymiary koła, na przykład w milimetrach, centymetrach, metrach albo calach. Średnica koła a promień, obwód i pole Średnica jest ściśle powiązana z pozostałymi podstawowymi wielkościami koła: promień to odcinek od środka koła do jego obwodu, średnica jest równa dwóm promieniom, obwód można wyliczyć ze średnicy, pole także da się przeliczyć na podstawie średnicy. To właśnie dlatego średnica tak często pojawia się w zadaniach szkolnych i codziennych obliczeniach. Znając jedną wartość, można przejść do kolejnej bez zgadywania. Średnica koła – wzór podstawowy i pozostałe wzory Najważniejszy wzór to: d = 2r czyli średnica koła jest dwa razy większa od promienia. Przydają się też dwa inne wzory: gdy znasz obwód: d = O/π gdy znasz pole: d = 2 × √(P/π) Gdzie: d – średnica, r – promień, O – obwód, P – pole, π – liczba pi, w przybliżeniu 3,1416. Wzory są uniwersalne. Można ich używać zarówno dla milimetrów, centymetrów i metrów, jak i dla cali. W razie potrzeby warto pamiętać o przeliczniku: 1 cal = 25,4 mm …

geometria-obliczenia-3-11530cf.jpg
width: 1600
height: 1200

Jak obliczyć średnicę koła z obwodu – wzór i przykłady
type: item
date: 2026-07-14T04:15:08.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Oblicz średnicę koła z obwodu w kilka sekund. Poznaj wzór d = O/π, sprawdź przykłady i uniknij błędów w jednostkach oraz zaokrągleniach.
encoded: Znajomość obwodu wystarczy, by szybko ustalić rozmiar koła. W praktyce liczy się tu prosta zależność, średnicę otrzymujesz po podzieleniu obwodu przez liczbę pi. To wygodny sposób, który sprawdza się zarówno w szkolnych zadaniach, jak i w codziennych sytuacjach, gdy trzeba odtworzyć wymiar bez mierzenia przez środek. Przy takich obliczeniach warto zwrócić uwagę na dwie rzeczy: właściwe użycie wzoru i zapis wyniku w tej samej jednostce co podany obwód. Pomaga też krótka kontrola rachunku, bo najczęstsze pomyłki wynikają z mylenia promienia ze średnicą albo zbyt pochopnego zaokrąglania. Średnica koła z obwodu: najkrótszy wzór Wzór na średnicę koła z obwodu jest bardzo prosty: d = O / π Gdzie: d – średnica koła O – obwód koła π – liczba pi, najczęściej przyjmowana jako 3,14 lub 3,1415 To oznacza, że aby obliczyć średnicę koła, wystarczy podzielić obwód przez π. Jak obliczyć średnicę koła z obwodu krok po kroku Najwygodniej zrobić to w 3 krokach: Sprawdź wartość obwodu Upewnij się, że podana liczba to rzeczywiście obwód, a nie promień. Podstaw dane do wzoru Skorzystaj ze wzoru: d = O / π Wykonaj dzielenie Podziel obwód przez 3,14 albo 3,1415, zależnie od tego, jak dokładny ma być wynik. Przykład zapisu: obwód koła: 31,4 cm wzór na średnicę koła: d = 31,4 / 3,14 wynik: d = 10 cm Jeśli znasz już promień, możesz też dojść do średnicy inaczej, bo średnica jest dwa razy większa od promienia: d = 2r Jaka wartość π przyjąć i jak zapisać wynik w dobrej jednostce W szkolnych i codziennych obliczeniach najczęściej używa się: π = 3,14 albo dokładniej: π = 3,1415 W prostych zadaniach zwykle wystarcza 3,14. Gdy zależy Ci na większej dokładności, możesz przyjąć 3,1415. Warto też pilnować jednostek. Wynik średnicy zapisuje się w tej samej jednostce co obwód. To ważne, bo łatwo przez nieuwagę wpisać poprawną liczbę, ale z błędną jednostką. Przykłady: obwód podany w cm → średnica też w cm obwód podany w m → średnica też w m obwód podany w mm → średnica też w mm Przykłady obliczeń średni…

geometria-obliczenia-7-fdd603a.jpg
width: 1600
height: 1200

Promień a średnica koła: różnice, wzory i przykłady
type: item
date: 2026-07-14T03:45:23.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj różnicę między promieniem a średnicą koła, sprawdź wzory na obwód i pole oraz unikaj błędów w zadaniach z geometrii.
encoded: W geometrii łatwo pomylić te dwa pojęcia, choć różnica między nimi jest bardzo konkretna. Promień łączy środek koła z jego brzegiem, a średnica przechodzi przez środek i sięga od jednego punktu na obwodzie do drugiego. To właśnie dlatego średnica zawsze ma długość dwóch promieni. Ta prosta zależność porządkuje większość zadań z kołem, od liczenia obwodu i pola po szybkie sprawdzenie, czy został podstawiony właściwy wzór. W praktyce wystarczy uważnie odczytać dane, zachować tę samą jednostkę i nie zamieniać tych wartości miejscami, bo to najczęściej prowadzi do błędów. Czym różnią się promień i średnica koła Promień i średnica koła to dwa różne odcinki, choć są ze sobą ściśle powiązane. Promień koła to odcinek, który łączy środek koła z jego brzegiem. Średnica koła to odcinek, który przechodzi przez środek i łączy dwa punkty na brzegu koła. Najprościej zapamiętać to tak: promień biegnie od środka do brzegu, średnica biegnie od brzegu do brzegu przez środek. Warto też pamiętać, że średnica jest największą cięciwą koła. Dla jednego koła można narysować nieskończenie wiele promieni i nieskończenie wiele średnic, ale wszystkie promienie mają tę samą długość, podobnie jak wszystkie średnice. Zależność między promieniem a średnicą: wzór na promień i wzór na średnicę Między tymi wielkościami jest bardzo prosta zależność: średnica jest zawsze dwa razy większa od promienia. Wzór na średnicę: d = 2r Wzór na promień: r = d/2 To oznacza, że gdy znasz jedną wartość, drugą policzysz od razu. Przykłady: jeśli promień koła wynosi 4 cm, to średnica koła wynosi 8 cm, jeśli średnica koła wynosi 12 m, to promień koła wynosi 6 m. Jak wybrać właściwy wzór, gdy znasz promień koła lub średnicę koła Najwygodniej zacząć od jednego krótkiego pytania: co dokładnie podano w zadaniu? Taki prosty schemat zwykle wystarcza: sprawdź, czy podany jest promień, czy średnica, wybierz wzór z tą wielkością, jeśli trzeba, przelicz promień na średnicę albo średnicę na promień, podstaw dane i zachowaj tę samą…

geometria-obliczenia--af5bb32.jpg
width: 1600
height: 1200

Równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: jak je rozwiązać
type: item
date: 2026-07-09T15:15:21.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj równanie kwadratowe postać iloczynowa, odkryj miejsca zerowe, warunki na deltę i szybciej rozwiązuj zadania z matematyki.
encoded: Zapis z nawiasami bywa najwygodniejszym sposobem pracy z trójmianem kwadratowym, bo od razu pokazuje, dla jakich wartości wyrażenie przyjmuje zero. Właśnie dlatego tak często pojawia się w zadaniach szkolnych, upraszcza obliczenia, porządkuje tok myślenia i pozwala szybciej zobaczyć sens wyniku. W praktyce dużo zależy od tego, czy równanie ma rzeczywiste pierwiastki. Gdy są dwa, da się je łatwo odczytać z czynników liniowych, a przy jednym pierwiastku zapis tylko nieco się zmienia. Trudniej robi się dopiero wtedy, gdy miejsc zerowych nie ma, wtedy taka forma po prostu nie występuje. Czym jest równanie kwadratowe w postaci iloczynowej Równanie kwadratowe w postaci iloczynowej to taki zapis, w którym trójmian kwadratowy został rozłożony na dwa czynniki liniowe. Najczęściej wygląda to tak: y = a(x − x₁)(x − x₂) W tym zapisie: a to współczynnik przy (x^2), x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji kwadratowej, wyrażenia (x − x₁) i (x − x₂) nazywa się czynnikami liniowymi. To bardzo wygodna forma, bo od razu pokazuje, dla jakich wartości (x) wyrażenie przyjmuje wartość zero. Dzięki temu łatwiej rozwiązać równanie kwadratowe i szybciej zauważyć jego najważniejsze cechy. Wzór na postać iloczynową funkcji kwadratowej i jak odczytać z niego miejsca zerowe Postać iloczynowa funkcji kwadratowej ma wzór: y = a(x − x₁)(x − x₂) Największa zaleta tego zapisu jest prosta: miejsca zerowe widać od razu. Wystarczy spojrzeć, kiedy który nawias staje się równy zero: z x − x₁ = 0 otrzymujesz x = x₁, z x − x₂ = 0 otrzymujesz x = x₂. To właśnie są miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Przykładowo, jeśli masz zapis: y = 2(x − 3)(x + 1) to miejsca zerowe to: x = 3 x = -1 Współczynnik a nie zmienia samych miejsc zerowych. Wpływa na kształt funkcji, ale nie na to, gdzie nawiasy się zerują. Kiedy postać iloczynowa istnieje: warunki na deltę w równaniu kwadratowym Nie każde równanie kwadratowe da się zapisać w postaci iloczynowej. Taka możliwość istnieje tylko wtedy, gdy równanie ma rzeczywiste miejsca ze…

odrabianie-lekcji-nauka-przed-sprawdzianem-7-f1e96e5.jpg
width: 1600
height: 1200

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: zadania i rozwiązania
type: item
date: 2026-07-09T04:15:56.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj postać iloczynową funkcji kwadratowej zadania krok po kroku. Naucz się liczyć deltę, wyznaczać miejsca zerowe i rozwiązywać nierówności.
encoded: Zapis z nawiasami szybko porządkuje zadania z funkcją kwadratową, bo od razu pokazuje jej miejsca zerowe i ułatwia ocenę, gdzie wykres przecina oś OX. To właśnie dlatego tak często pojawia się w szkolnych przykładach, przy rozwiązywaniu równań, nierówności i analizie znaków funkcji. Najwięcej trudności zwykle sprawia samo przekształcenie wzoru: najpierw trzeba poprawnie policzyć deltę, potem wyznaczyć pierwiastki i dopiero zachować właściwy współczynnik przed nawiasami. W takich obliczeniach łatwo o drobny błąd w znakach, ale dobrze opanowana kolejność działań pozwala sprawniej przechodzić nawet przez trudniejsze przykłady. Szybkie przypomnienie: czym jest postać iloczynowa funkcji kwadratowej Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to zapis: y = a(x - x₁)(x - x₂) gdzie: a to współczynnik stojący przy (x^2), x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji. To właśnie dlatego funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej jest tak wygodna: od razu widać, dla jakich wartości (x) wykres przecina oś (OX). Jeśli funkcja ma jedno podwójne miejsce zerowe, zapis wygląda tak: y = a(x - x₀)^2 Taka postać bardzo pomaga w zadaniach z funkcji kwadratowej, zwłaszcza gdy trzeba: wyznaczyć miejsca zerowe, narysować szkic wykresu, sprawdzić znaki funkcji, rozwiązać równanie lub nierówność kwadratową. Kiedy można zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej Nie każdą funkcję kwadratową da się zapisać w postaci iloczynowej. Decyduje o tym delta: Δ = b² - 4ac Możliwe są trzy sytuacje: Δ > 0 – funkcja ma dwa różne miejsca zerowe, więc można zapisać pełną postać iloczynową y = a(x - x₁)(x - x₂) Δ = 0 – funkcja ma jedno podwójne miejsce zerowe, więc zapisujemy y = a(x - x₀)^2 Δ < 0 – funkcja nie ma miejsc zerowych, więc postać iloczynowa w liczbach rzeczywistych jest niemożliwa. To pierwszy filtr w każdym zadaniu. Zanim zaczniesz przekształcać wzór, warto sprawdzić deltę. Jak przejść z postaci ogólnej do iloczynowej krok po kroku Dla funkcji w postaci ogólnej: y = ax² + bx + c najwygodniejsza kolejność jes…

odrabianie-lekcji-nauka-przed-sprawdzianem-22-9dd4bc1.jpg
width: 1600
height: 1200

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: wzór i przykłady
type: item
date: 2026-07-09T03:45:20.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj postać iloczynową funkcji kwadratowej i szybko odczytuj miejsca zerowe, deltę oraz znak paraboli. Ułatw zadania krok po kroku.
encoded: W zapisie funkcji kwadratowej liczy się nie tylko sam wzór, ale też to, jak szybko da się z niego odczytać najważniejsze informacje. Forma z nawiasami pozwala od razu zobaczyć miejsca zerowe, a przy okazji lepiej zrozumieć, jak zachowuje się parabola i od czego zależy jej przebieg. To bardzo praktyczne narzędzie w szkolnych zadaniach: ułatwia rozwiązywanie równań i nierówności, porządkuje obliczenia i pomaga uniknąć częstych pomyłek ze znakami czy współczynnikiem a. Warto też pamiętać, że taki zapis nie zawsze jest możliwy, wszystko zależy od delty i od tego, czy funkcja ma miejsca zerowe. Czym jest postać iloczynowa funkcji kwadratowej Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to zapis, w którym wzór funkcji przedstawia się jako iloczyn dwóch czynników liniowych. Najczęściej wygląda to tak: y = a(x − x₁)(x − x₂) Taki zapis jest bardzo wygodny, bo od razu pokazuje najważniejszą informację: miejsca zerowe funkcji, czyli wartości (x), dla których (y = 0). W praktyce postać iloczynowa funkcji kwadratowej pomaga szybko: odczytać rozwiązania równania kwadratowego, sprawdzić, gdzie parabola przecina oś (OX), analizować, kiedy funkcja jest dodatnia, a kiedy ujemna. To właśnie dlatego postać iloczynowa pojawia się bardzo często w zadaniach szkolnych. Wzór postaci iloczynowej i co oznaczają jego elementy Wzór postaci iloczynowej ma postać: y = a(x − x₁)(x − x₂), gdzie a ≠ 0 Każdy element tego zapisu ma znaczenie: a – ten sam współczynnik, który występuje przy (x^2) w postaci ogólnej, x₁, x₂ – miejsca zerowe funkcji, (x − x₁) i (x − x₂) – czynniki liniowe, które po wymnożeniu tworzą funkcję kwadratową. Warto zwrócić uwagę na znaki. Jeśli miejscem zerowym jest na przykład 3, to w nawiasie zapisujemy (x − 3). Jeśli miejscem zerowym jest −2, to nawias ma postać (x + 2). To drobiazg, ale właśnie tutaj często pojawiają się pomyłki. Kiedy postać iloczynowa istnieje: miejsca zerowe i delta funkcji kwadratowej Nie każdą funkcję kwadratową da się zapisać w postaci iloczynowej. Taki zapis …

mlodziez-w-klasie-powtorka-materialu-edukacyjnego--0569d6a.jpg
width: 1600
height: 1200

Jak obliczyć pierwiastek z 3: proste sposoby i przykłady
type: item
date: 2026-07-08T20:15:09.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj proste sposoby na jak obliczyć pierwiastek z 3, sprawdź przybliżenie 1,732 i oblicz wynik szybko, bez kalkulatora.
encoded: Pierwiastek z 3 to jedna z tych wartości, które często pojawiają się w matematyce i geometrii, a przy tym nie dają się zapisać „ładnie” jako prosty ułamek. Wiadomo jednak, że jego przybliżenie wynosi około 1,732, bo to właśnie ta liczba po podniesieniu do kwadratu daje wynik bardzo bliski 3. W praktyce dobrze znać nie tylko samą wartość, ale też kilka sposobów jej wyznaczania. Czasem wystarczy szybkie oszacowanie między 1 a 2, a czasem bardziej precyzyjna metoda, która pozwala dojść do wyniku krok po kroku także bez kalkulatora. Dzięki temu łatwiej zrozumieć, skąd bierze się ten zapis i jak działa pierwiastkowanie. Czym jest pierwiastek z 3 i ile wynosi w przybliżeniu Pierwiastek z 3 to taka liczba, która po podniesieniu do kwadratu daje 3. Zapisujemy to tak: √3 = x, gdy x² = 3 W praktyce oznacza to, że szukamy liczby, która pomnożona przez siebie daje dokładnie 3. Taka liczba istnieje, ale nie da się jej zapisać w postaci prostego ułamka. To dlatego pierwiastek z 3 jest liczbą niewymierną. Najczęściej używa się wartości przybliżonej: √3 ≈ 1,73205 do szybkich obliczeń zwykle wystarcza: 1,73 1,732 Warto też pamiętać, że pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Skoro więc: 1,732² ≈ 3 to znaczy, że 1,732 jest dobrym przybliżeniem pierwiastka z 3. Jak obliczyć pierwiastek z 3 przez porównanie do znanych kwadratów To najprostszy sposób na wstępne oszacowanie wyniku. Znamy kwadraty liczb całkowitych: 1² = 1 2² = 4 Liczba 3 leży między 1 a 4, więc od razu wiadomo, że: √3 jest między 1 a 2 To daje pierwszy, bardzo ogólny przedział. Można pójść krok dalej i sprawdzić kilka liczb z przecinkiem: 1,7² = 2,89 1,8² = 3,24 Ponieważ 3 znajduje się między 2,89 a 3,24, wynika z tego, że: √3 jest między 1,7 a 1,8 Takie porównywanie do znanych kwadratów jest proste i dobrze sprawdza się wtedy, gdy chcesz szybko zorientować się, jaki mniej więcej będzie wynik. Jak oszacować przybliżenie pierwiastka z 3 bez kalkulatora Bez kalkulatora najlepiej działa spokojne zawężanie…

odrabianie-lekcji-nauka-przed-sprawdzianem-17-765a12e.jpg
width: 1600
height: 1200

Pierwiastek z 3: wartość, przybliżenie i znaczenie matematyczne
type: item
date: 2026-07-08T18:15:44.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj pierwiastek z 3: jego wartość dokładną, przybliżenie 1,73205 i zastosowania w geometrii. Sprawdź, jak go obliczać i kiedy używać.
encoded: To jedna z tych liczb, które w matematyce wracają zaskakująco często. Jej kwadrat daje 3, a zapis dziesiętny zaczyna się od 1,73205 i ciągnie się bez końca. W praktyce zwykle korzysta się z przybliżenia, ale warto pamiętać, że to liczba niewymierna, więc nie da się jej zapisać jako dokładnego ułamka. Pojawia się nie tylko w obliczeniach „na papierze”, lecz także w geometrii, choćby przy trójkącie równobocznym czy sześciokącie foremnym. To dobry przykład liczby, która łączy prostą definicję z ważnymi własnościami matematycznymi i pokazuje, jak duże znaczenie ma różnica między wartością dokładną a wygodnym przybliżeniem. Czym jest pierwiastek z 3 Pierwiastek z 3 to liczba, która po podniesieniu do kwadratu daje 3. Zapisuje się ją jako √3. To znaczy, że: √3 · √3 = 3 jest to pierwiastek kwadratowy z 3 nie da się go zapisać dokładnie jako zwykłego ułamka W matematyce to jedna z podstawowych liczb niewymiernych, która bardzo często pojawia się w geometrii. Jaka jest wartość pierwiastka z 3: zapis dokładny i przybliżony Dokładny zapis to po prostu: √3 Z kolei wartość pierwiastka z 3 w przybliżeniu wynosi: 1,73205 po zaokrągleniu: 1,732 w prostszych obliczeniach: 1,73 Warto pamiętać, że zapis √3 jest wartością dokładną, a liczby dziesiętne to tylko przybliżenia. Czasem używa się też przybliżenia w postaci ułamka, na przykład 97/56. Jak obliczyć pierwiastek z 3 w przybliżeniu Najprościej sprawdzić, między jakimi liczbami leży wynik. To dobry sposób, żeby zrozumieć, jak obliczyć pierwiastek z 3 bez kalkulatora. Możesz zacząć od prostych wartości: 1,7² = 2,89 1,8² = 3,24 Skoro 3 mieści się między 2,89 a 3,24, to pierwiastek z 3 leży między 1,7 a 1,8. Potem można zawężać wynik coraz dokładniej. Wiemy już, że: √3 ≈ 1,73205 W praktyce oznacza to, że gdy potrzebna jest wartość przybliżona pierwiastka z 3, zwykle wystarczy: 1,73 – do prostych obliczeń, 1,732 lub 1,73205 – gdy liczy się większa dokładność. Dlaczego pierwiastek z 3 jest liczbą niewymierną Pierwiastek z 3 jest liczbą …

mlodziez-w-klasie-powtorka-materialu-edukacyjnego-4-7696c8c.jpg
width: 1600
height: 1200

Wzór na obwód koła z przykładami i objaśnieniem
type: item
date: 2026-06-20T20:15:59.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Wzór na obwód koła w praktyce: poznaj prosty sposób liczenia z promienia lub średnicy, przykłady krok po kroku i unikaj błędów.
encoded: Obwód koła da się policzyć szybko, jeśli wiadomo, z której danej skorzystać: promienia albo średnicy. W praktyce wystarczą dwa równoważne zapisy, O = 2·π·r oraz O = π·d, i podstawienie właściwej liczby. To prosty dział matematyki, który często wraca w szkolnych zadaniach i codziennych obliczeniach. Najwięcej pomyłek pojawia się nie przy samym liczeniu, ale przy rozpoznaniu symboli, dobraniu wzoru i zapisaniu wyniku w dobrej jednostce. Pomaga też spokojne przejście przez przykłady: od obliczenia długości okręgu po wyznaczenie promienia lub średnicy, gdy znany jest już obwód. Wzór na obwód koła: co oznaczają symbole we wzorach O = 2·π·r i O = π·d Wzór na obwód koła można zapisać na dwa równoważne sposoby: O = 2·π·r O = π·d Symbole oznaczają: O – obwód koła, czyli długość okręgu r – promień d – średnica π – stała matematyczna, najczęściej przyjmowana jako 3,14 lub 3,1415 Oba wzory prowadzą do tego samego wyniku. Różnica polega tylko na tym, jakie dane masz podane w zadaniu. To ważne, bo dzięki temu łatwiej od razu wybrać właściwy zapis, zamiast najpierw przeliczać promień na średnicę albo odwrotnie. Jak obliczyć obwód koła, gdy znasz promień Gdy w zadaniu podany jest promień, najwygodniej skorzystać ze wzoru: O = 2·π·r W praktyce wygląda to tak: zapisujesz wzór, podstawiasz wartość promienia, mnożysz liczby, dopisujesz odpowiednią jednostkę. Przykład: Dane: r = 5 cm Obliczenie: O = 2·π·5 O = 10π Po przyjęciu π = 3,1415: O = 31,42 cm To prosty schemat, który sprawdza się w większości szkolnych zadań. Warto tylko upewnić się, że podstawiasz właśnie promień, a nie średnicę. Obwód koła ze średnicy: kiedy użyć wzoru O = π·d Jeśli w zadaniu podana jest średnica, możesz od razu użyć wzoru: O = π·d To krótsza droga niż najpierw dzielenie średnicy przez 2 i wyznaczanie promienia. Przykład: Dane: d = 10 cm Obliczenie: O = π·10 Przy π = 3,1415: O = 31,42 cm Widać, że wynik jest taki sam jak w przykładzie z promieniem 5 cm, bo średnica 10 cm to po prostu dwa promienie po 5 cm. Ten…

odrabianie-lekcji-z-matematyki-obliczenia-na-kalkulatorze-3fd58f2.jpg
width: 1600
height: 1200

Jak obliczyć obwód koła z promienia – wzór i przykłady
type: item
date: 2026-06-20T18:15:57.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj wzór na obwód koła z promienia i oblicz wynik szybko, bez pomyłek w jednostkach, z przykładem i prostymi krokami.
encoded: Obliczenie długości okręgu z podanego promienia opiera się na jednym prostym zapisie: wystarczy pomnożyć promień przez 2 i przez liczbę π. To szybkie działanie, ale łatwo zgubić jeden element wzoru albo pomylić promień ze średnicą, dlatego warto od razu zwrócić uwagę na oznaczenia i jednostki. Promień to odcinek poprowadzony od środka do brzegu koła i właśnie on jest punktem wyjścia do poprawnego wyniku. W praktyce można zostawić wynik z symbolem π albo skorzystać z przybliżenia 3,14, zależnie od polecenia. Dobrze pamiętać, że jednostka obwodu pozostaje taka sama jak jednostka promienia. Wzór na obwód koła z promienia Wzór na obwód koła z promienia to: C = 2πr Gdzie: C – obwód koła, r – promień, π – liczba pi, czyli w przybliżeniu 3,14. To najprostszy sposób, by obliczyć obwód koła, gdy znasz promień. W praktyce wystarczy pomnożyć promień przez 2, a potem przez π. Co oznacza promień we wzorze na obwód koła Promień to odcinek poprowadzony od środka koła do jego brzegu. To właśnie ta wartość jest potrzebna we wzorze C = 2πr. Warto uważać, by nie pomylić promienia ze średnicą. Promień jest krótszy, średnica to odcinek przechodzący przez środek koła i łączący dwa punkty na jego brzegu. Jeśli w zadaniu podany jest promień, korzystasz ze wzoru na obwód koła z promienia. Jeśli podana jest średnica, przydaje się inny zapis: C = πd. Jak obliczyć obwód koła krok po kroku Jak obliczyć obwód koła? Najwygodniej zrobić to w kilku prostych krokach: Odczytaj promień. Podstaw go do wzoru: C = 2πr Wykonaj mnożenie: najpierw 2 razy promień, potem razy π. Zapisz wynik w tej samej jednostce, w której podany był promień. Przykład sposobu liczenia: promień: 5 cm wzór: C = 2πr podstawienie: C = 2 × π × 5 wynik: C = 10π cm albo w przybliżeniu 31,4 cm. To obliczenie jest szybkie i działa dla każdej dodatniej wartości promienia. Jak zapisać wynik: liczba π, przybliżenie i jednostki W zadaniach szkolnych spotyka się dwa poprawne sposoby zapisu wyniku: dokładny, z symbolem π, np. 10π cm przybli…

odrabianie-lekcji-z-matematyki-f5b5b1f.jpg
width: 1600
height: 1200

Jak obliczyć obwód koła znając średnicę i wzór π
type: item
date: 2026-06-20T17:15:17.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Sprawdź, jak obliczyć obwód koła mając średnicę: prosty wzór, przykłady i jednostki, by szybko liczyć bez pomyłek w zadaniach i na co dzień.
encoded: Do wyliczenia długości okręgu nie potrzeba skomplikowanych przekształceń. Wystarczy znać średnicę i skorzystać z prostego działania: pomnożyć ją przez liczbę π, czyli około 3,14. To szybki sposób, który sprawdza się zarówno w szkolnych zadaniach, jak i w codziennych, praktycznych obliczeniach. Warto przy tym pamiętać, że obwód to linia otaczająca koło, a nie jego pole, dlatego łatwo uniknąć pomyłki już na starcie. Znaczenie ma też jednostka, jeśli średnica została podana w centymetrach, wynik również zapisuje się w centymetrach. Kilka prostych kroków pozwala uzyskać poprawny i czytelny wynik bez zbędnego liczenia. Jaki jest wzór na obwód koła ze średnicy Gdy znasz średnicę, najwygodniej skorzystać ze wzoru: O = π · d gdzie: O oznacza obwód koła, π to liczba pi, d to średnica. To najprostszy sposób na obliczanie obwodu koła bez dodatkowych przekształceń. Wystarczy zmierzyć średnicę i pomnożyć ją przez π. Co oznaczają symbole we wzorze: obwód, średnica i π W tym wzorze każdy symbol ma konkretne znaczenie: Obwód koła (O) – to długość okręgu, czyli linia zamykająca koło. Nie należy mylić go z polem powierzchni. Średnica (d) – odcinek przechodzący przez środek koła i łączący dwa punkty na okręgu. π (pi) – stała matematyczna używana w obliczeniach koła. Najczęściej przyjmuje się 3,14, a przy dokładniejszych rachunkach 3,1415. W praktyce wzór na obwód koła ze średnicy jest prosty właśnie dlatego, że nie trzeba najpierw wyliczać promienia. Jak obliczyć obwód koła mając średnicę krok po kroku Jak obliczyć obwód koła mając średnicę? Najłatwiej zrobić to w trzech krokach: Zmierz średnicę koła. Podstaw wartość do wzoru: O = π · d. Pomnóż średnicę przez π. Przykład prostego zapisu: średnica: 5 cm wzór: O = π · 5 cm obliczenie: O ≈ 3,14 · 5 cm = 15,7 cm Taki sposób działania krok po kroku pomaga uniknąć pomyłek i szybko sprawdzić, czy wszystko się zgadza. Jak stosować π w obliczeniach koła i kiedy używać przybliżenia W obliczeniach koła liczba π jest stała, ale na co dzień używa …

odrabianie-lekcji-z-matematyki-obliczenia-na-kalkulatorze-1-8cec1f4.jpg
width: 1600
height: 1200

Wzór na obwód koła: definicja, przykłady i obliczenia
type: item
date: 2026-06-20T16:15:46.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj wzór na obwód koła i szybko oblicz wynik z promienia, średnicy lub pola. Sprawdź przykłady, jednostki i unikaj błędów.
encoded: Obwód koła to po prostu długość okręgu, czyli linii wyznaczającej jego brzeg. W praktyce taki wynik przydaje się częściej, niż się wydaje, przy zadaniach szkolnych, mierzeniu okrągłych przedmiotów czy planowaniu długości materiału wokół koła. Do obliczeń wystarczy promień albo średnica i jedna z dwóch równoważnych postaci wzoru: O = 2·π·r lub O = π·d. Warto pamiętać, że średnica jest dwa razy większa od promienia, a wynik zapisuje się w tej samej jednostce. Dzięki temu łatwiej przejść od definicji do prostych obliczeń i uniknąć typowych pomyłek. Co to jest obwód koła Obwód koła to długość okręgu, czyli linii wyznaczającej brzeg koła. Najprościej mówiąc: to cała długość zewnętrznej granicy koła. W praktyce właśnie ten wymiar oblicza się wtedy, gdy trzeba ustalić długość czegoś „wokół” okrągłego kształtu, na przykład ogrodzenia, obrzeża czy krawędzi. Wzór na obwód koła i znaczenie symboli Wzór na obwód koła można zapisać na dwa równoważne sposoby: O = 2 · π · r O = π · d Symbole oznaczają: O – obwód koła r – promień koła d – średnica koła π – stała matematyczna pi, w przybliżeniu 3,1415 Oba zapisy znaczą to samo, ponieważ średnica jest dwa razy większa od promienia: d = 2r W zadaniach często stosuje się przybliżenia liczby π, na przykład: π ≈ 3,14 π ≈ 22/7 Obwód koła z promienia i ze średnicy To, który wzór wybrać, zależy od danych, które już masz. Gdy znany jest promień, wygodnie skorzystać ze wzoru: O = 2πr Gdy znana jest średnica, szybciej użyć wzoru: O = πd To ważne ułatwienie, bo nie trzeba za każdym razem przeliczać średnicy na promień albo odwrotnie. Wystarczy podstawić tę wartość, którą podano w zadaniu. Warto też pamiętać o jednostkach. Wynik obwodu zapisuje się w tej samej jednostce co promień lub średnica, na przykład: jeśli promień jest w cm, obwód będzie w cm jeśli średnica jest w m, obwód będzie w m Jak obliczyć obwód koła krok po kroku Obliczanie obwodu koła da się sprowadzić do kilku prostych kroków: Sprawdź, co podano w zadaniu – promień czy średnicę.…

odrabianie-lekcji-z-matematyki-1-29e3763.jpg
width: 1600
height: 1200

Egzamin ósmoklasisty 2026: matematyka. Są pierwsze przecieki, tak mogą wyglądać arkusze CKE
type: item
date: 2026-05-11T19:08:17.000Z
creator: Magdalena Drab
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: egzamin ósmoklasisty
subject: matematyka
subject: szkoła podstawowa
description: Egzamin ósmoklasisty 2026 z matematyki odbędzie się we wtorek 12 maja o 9 i potrwa 125 minut. Arkusz CKE ma zawierać 20–21 zadań (zamknięte i otwarte) łącznie za 30 punktów. Uczniowie szukają w sieci „pewniaków”, ale uwaga: rzekome przecieki przed testem to często oszustwo i kosztowne SMS-y.
encoded: We wtorek, 12 maja, ósmoklasiści zmierzą się z matematyką w ramach egzaminu ósmoklasisty 2026. Start zaplanowano na godzinę 9, a na pracę z arkuszem przewidziano 125 minut. To moment, który budzi emocje w wielu domach, bo choć test nie ma progu zdawalności, wynik realnie liczy się w rekrutacji do szkoły średniej. Matematyka na E8: arkusz jest przewidywalny, ale tempo potrafi zaskoczyć Egzamin z matematyki ma formę mieszaną: zadania zamknięte i otwarte. W części zamkniętej pojawiają się typy dobrze znane uczniom z prób i wcześniejszych sprawdzianów: wybór wielokrotny, prawda–fałsz oraz dobieranie. Część otwarta wymaga już samodzielnego zapisu rozwiązania. W arkuszu CKE ma być łącznie 20-21 zadań, w tym: 14-15 zadań zamkniętych, 5-6 zadań otwartych. Maksymalnie do zdobycia jest 30 punktów. Za zadania zamknięte przewidziano 14-15 punktów, a za otwarte 15-16 punktów. W praktyce oznacza to, że nawet przy dobrej „skuteczności” w zamkniętych, kluczowe potrafią okazać się zadania otwarte, bo tam punktów jest zwykle więcej i to one częściej różnicują wyniki. W domu dzieci często mówią: „Wszystko umiem, tylko robię głupie błędy”. W matematyce na tym egzaminie szczególnie ważne jest to, co dziecko pokaże na kartce. W zadaniach otwartych oceniane są: analiza treści, dobór metody, planowanie kroków, a także poprawny zapis działań i wyników. Pomaga prosta zasada: mniej pośpiechu w czytaniu, więcej porządku w zapisie. Oto obszary, które na E8 wracają najczęściej Uczniowie często pytają o „pewniaki”. Tego, co pojawi się na egzaminie, nikt nie zagwarantuje, ale są obszary, które regularnie pojawiają się w zadaniach i które w 2026 roku również mogą się trafić. Na liście powtórkowej zwykle znajdują się: działania na liczbach naturalnych, całkowitych, wymiernych i dziesiętnych oraz kolejność wykonywania działań, ułamki zwykłe i dziesiętne, własności działań arytmetycznych, wyrażenia algebraiczne (upraszczanie, przekształcanie) oraz obliczanie wartości, równania i proste nierówności, ge…

e8-matematyka-przecieki-8a43819.png
width: 1600
height: 1200

1 kg to ile dekagramów? Jak łatwo przeliczyć kg na dag
type: item
date: 2026-05-10T05:15:15.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Sprawdź, jak szybko przeliczać kilogramy na dekagramy i odwrotnie. Poznaj zasadę 1 kg = 100 dag i unikaj częstych błędów w kuchni i szkole.
encoded: Przeliczanie jednostek masy nie musi sprawiać żadnego kłopotu, wystarczy zapamiętać jedną prostą zasadę: kilogram i dekagram łączy stała zależność, która zawsze działa tak samo. To przydatna wiedza nie tylko w szkole, ale też w kuchni, na zakupach i wszędzie tam, gdzie liczy się szybkie odczytywanie wagi. Dzięki temu łatwo uniknąć częstego błędu i bez zastanowienia zamieniać wartości w obie strony. Najprostszy sposób liczenia opiera się na jednym przeliczniku, który wynika wprost z budowy systemu metrycznego i daje się łatwo utrwalić na konkretnych przykładach. 1 kg to 100 dekagramów W systemie metrycznym między tymi jednostkami masy obowiązuje stała, niezmienna zależność: 1 kg = 100 dag. To podstawowy zapis, który warto zapamiętać przy każdej konwersji kilogramów i dekagramów. Zależność działa też w drugą stronę: 100 dag = 1 kg. Dzięki temu od razu widać, że te jednostki łączy prosty przelicznik oparty na liczbie 100. Skąd bierze się ten przelicznik Przelicznik nie jest przypadkowy. Wynika z budowy metrycznego systemu jednostek masy. 1 kilogram = 1000 gramów, a 1 dekagram = 10 gramów. Skoro więc kilogram ma 1000 g, a jeden dekagram 10 g, wystarczy podzielić: 1000 g ÷ 10 g = 100 dag Właśnie dlatego 1 kilogram to dokładnie 100 dekagramów. Ta sama zasada pokazuje też, że 100 dekagramów to dokładnie 1 kg. Dekagram jest przy tym wygodną jednostką pośrednią między gramem a kilogramem. Nie jest tak mały jak gram i nie jest tak duży jak kilogram, dlatego często pojawia się w codziennych sytuacjach. Jak przeliczać kilogramy na dekagramy i odwrotnie Przelicznik kg na dag Przy zamianie kilogramów na dekagramy liczbę kilogramów mnoży się przez 100. Wzór wygląda tak: dag = kg × 100 W praktyce oznacza to, że liczba po zamianie rośnie stukrotnie, bo przechodzimy z większej jednostki na mniejszą. Przy szybkim liczeniu wystarczy przesunąć przecinek o dwa miejsca w prawo. Przykłady: 1 kg = 100 dag 0,5 kg = 50 dag 6 kg = 600 dag 7 kg = 700 dag 18 kg = 1800 dag Przelicznik dag na kg W…

dziewczynka-ktora-odrabia-lekcje-2-1f08bb3.jpg
width: 1600
height: 1200

Znak większości na klawiaturze: jak wpisać i rozwiązać problemy
type: item
date: 2026-05-09T20:15:55.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: komputer
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Sprawdź, jak wpisać znak większości na klawiaturze w Windows, Macu, laptopie i telefonie oraz co zrobić, gdy nie działa skrót lub układ.
encoded: Niepozorny symbol > potrafi zatrzymać pracę szybciej niż bardziej skomplikowane skróty klawiaturowe. Przydaje się w zadaniach z matematyki, tabelach, dokumentach i codziennym pisaniu, a mimo to na wielu urządzeniach jego wpisanie wcale nie jest tak oczywiste, jak powinno. Wystarczy jednak znać kilka prostych rozwiązań, by problem zniknął od ręki. Pokażemy, gdzie szukać tego znaku na standardowej klawiaturze, laptopie, Macu i telefonie, a także co zrobić, gdy klawisz nie działa, układ języka się nie zgadza albo trzeba skorzystać z kodu Alt, klawiatury ekranowej lub kopiowania symbolu. Gdzie jest znak większości na klawiaturze Symbol > służy do porównywania wartości. Oznacza, że liczba, wyrażenie lub wynik zapisany po lewej stronie jest większy od tego, co znajduje się po prawej stronie. Zapis 7 > 3 odczytuje się więc prosto: siedem jest większe od trzech. To podstawowa zasada użycia tego znaku w matematyce, prostych porównaniach i niektórych zapisach technicznych. Najczęściej znak większości na klawiaturze znajduje się na klawiszu w dolnym rzędzie literowym, zwykle po prawej stronie litery M. W wielu polskich układach trzeba użyć do tego klawisza Shift. Standardowa klawiatura polska Na standardowej polskiej klawiaturze najczęściej działa kombinacja Shift +.. W praktyce wygląda to tak: przytrzymanie klawisza Shift, naciśnięcie klawisza z kropką ., pojawienie się symbolu >. Ten klawisz zwykle znajduje się po prawej stronie litery M, blisko prawego Shift. Dla większości osób jest to najszybszy sposób wpisania znaku większości. Gdy układ klawiszy wygląda inaczej Nie każda klawiatura ma znak większości w dokładnie tym samym miejscu. Inaczej mogą wyglądać klawiatury pełnowymiarowe, inaczej laptopy, a jeszcze inaczej modele sprowadzane z zagranicu. Najczęstsze różnice wynikają z dwóch powodów: fizycznego układu klawiszy, aktywnego układu języka w systemie. To ważne, bo nawet jeśli na obudowie klawisza widać > albo klawisz jest w znanym miejscu, system może interpretować go …

dziewczynka-ktora-odrabia-lekcje-6-dfef0ca.jpg
width: 1600
height: 1200

Znak większości i mniejszości: znaczenie, zasady, przykłady
type: item
date: 2026-05-09T18:15:25.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj znak większości i mniejszości: proste zasady, oś liczbowa, liczby ujemne i symbole ≤ oraz ≥. Uniknij typowych błędów.
encoded: Porównywanie liczb to jedna z tych matematycznych umiejętności, bez których trudno ruszyć dalej. Już na wczesnym etapie nauki trzeba wiedzieć, który zapis oznacza więcej, który mniej i jak nie pomylić kierunku „dzióbka”, bo od tego zaczynają się nierówności, zadania tekstowe i wiele prostych działań. W tym tekście porządkujemy najważniejsze zasady, pokazujemy czytelne przykłady i podpowiadamy, jak szybko zapamiętać zapis za pomocą prostych skojarzeń. Będzie też o osi liczbowej, liczbach ujemnych oraz symbolach typu ≤ i ≥, które pojawiają się później, ale warto oswoić je od razu. Czym jest znak większości i mniejszości Znak większości i mniejszości służy w matematyce do porównywania liczb oraz innych wartości. Dzięki nim od razu widać, która liczba jest większa, a która mniejsza. To jedne z podstawowych znaków matematycznych, używanych już przy prostych działaniach szkolnych i przy zapisie nierówności. Symbol < to znak mniejszości. Oznacza, że liczba po lewej stronie jest mniejsza od tej po prawej. Zapis 3 < 5 czyta się: „trzy jest mniejsze od pięciu”. Symbol > to znak większości i wskazuje, że liczba po lewej stronie jest większa. Zapis 8 > 2 odczytuje się: „osiem jest większe od dwóch”. Znaki te pojawiają się zawsze tam, gdzie trzeba porównać dwie liczby, określić zakres wartości albo zapisać warunek, który jakaś liczba ma spełniać. Jak działa kierunek znaków Otwarta część znaku a większa liczba Najprostsza zasada brzmi: otwarta część znaku zawsze wskazuje większą liczbę, a szpiczasty koniec pokazuje liczbę mniejszą. To intuicyjny sposób, który bardzo ułatwia zapamiętanie kierunku znaków. W zapisie 2 < 7 otwarta część znaku jest skierowana w stronę 7, bo 7 to większa wartość. Z kolei w zapisie 9 > 4 szeroka część znaku znajduje się przy 9, bo to ona jest większa. Niezależnie od tego, czy chodzi o znak mniejszości, czy większości, zasada pozostaje taka sama: „dzióbek” otwiera się na większą liczbę. Jak zapamiętać znak większości i mniejszości Popularne skojarzenie m…

Dzieci-w-klasie-23-bc471bf.jpg
width: 1600
height: 1200

Znak mniejszości: definicja, zastosowanie i przykłady
type: item
date: 2026-05-09T17:15:02.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj znak mniejszości: znaczenie symbolu
encoded: Znak mniejszości to jeden z tych symboli, bez których trudno wyobrazić sobie naukę matematyki. Pojawia się już na początku szkolnej edukacji, a później wraca w zadaniach z liczbami, ułamkami, działaniami i nierównościami. Wystarczy jeden zapis, by od razu pokazać, która wartość jest mniejsza i jak wygląda relacja między dwiema liczbami. W tym artykule wyjaśniamy, co dokładnie oznacza symbol „<”, jak go poprawnie odczytywać i po czym najłatwiej odróżnić go od znaku większości. Pokazujemy też proste przykłady zastosowania, podpowiadamy, jak zapamiętać kierunek znaku, oraz przypominamy, kiedy używa się zapisu „mniejsze lub równe”. Czym jest znak mniejszości i co oznacza Znak mniejszości to podstawowy symbol nierówności matematycznej. Zapisuje się go jako „<” i używa do pokazania, że jedna wartość jest mniejsza od drugiej. Taki zapis odczytuje się zawsze w ten sam sposób: liczba lub wyrażenie po lewej stronie są mniejsze od liczby lub wyrażenia po prawej stronie. Przykład 4 < 7 oznacza więc, że 4 jest mniejsze od 7. Symbol ten ma duże znaczenie przy porównywaniu liczb, ułamków i prostych wyrażeń. Dzięki niemu nierówności są czytelne i jednoznaczne, a porównywanie wartości nie budzi wątpliwości. Jak wygląda znak mniejszości i jak rozpoznać jego kierunek Charakterystyczny kształt symbolu „<” Symbol mniejszości ma kształt przypominający literę „V” ułożoną poziomo i skierowaną w lewo. Choć wygląda bardzo prosto, jego kierunek ma kluczowe znaczenie. Najważniejsza zasada jest praktyczna i łatwa do zapamiętania: ostry wierzchołek znaku mniejszości zawsze wskazuje mniejszą wartość. Jeśli więc w zapisie widnieje 3 < 8, czubek znaku jest skierowany w stronę liczby 3, bo to ona jest mniejsza. Pomaga też druga obserwacja: szerzej otwarta część symbolu znajduje się przy większej liczbie. Dzięki temu łatwiej od razu zobaczyć, która wartość jest większa, a która mniejsza. Jak odróżnić znak mniejszości od znaku większości Znak mniejszości i znak większości łatwo pomylić, bo wyglądają p…

dziewczynka-ktora-odrabia-lekcje-3-fa271a1.jpg
width: 1600
height: 1200

Znak większości: co oznacza i jak go stosować w matematyce
type: item
date: 2026-05-09T16:15:24.000Z
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Znak większości w matematyce wyjaśniony prosto: poznaj symbol >, kierunek znaku, przykłady nierówności i łatwe sposoby na zapamiętanie.
encoded: Niepozorny symbol „>” należy do podstaw matematyki i pojawia się znacznie wcześniej, niż wielu osobom się wydaje. Bez niego trudno sprawnie porównywać liczby, odczytywać nierówności i rozumieć prostsze oraz bardziej złożone zadania, dlatego warto dobrze zapamiętać jego znaczenie i kierunek. W dalszej części pokazujemy, jak poprawnie odczytywać ten zapis, z czym najczęściej bywa mylony i po czym od razu rozpoznać, gdzie znajduje się większa wartość. Będą też proste przykłady z liczbami i niewiadomą, praktyczna wskazówka, jak wpisać symbol na klawiaturze, oraz łatwe skojarzenia, które pomagają dzieciom szybciej opanować znaki nierówności. Czym jest znak większości i co oznacza symbol > Znak większości to jeden z podstawowych symboli porównania w matematyce. Oznacza, że liczba albo wyrażenie zapisane po lewej stronie jest większe od tego, co znajduje się po prawej stronie. Właśnie dlatego symbol > bywa nazywany także znakiem „większy niż”. Najprostszy zapis wygląda tak: 7 > 3. Odczytuje się go: „siedem jest większe od trzech”. Taki zapis pokazuje relację między dwiema wartościami i pomaga szybko ustalić, która z nich ma większą wartość. Znak większości należy do grupy znaków nierówności. Obok niego występują między innymi znak mniejszości (<) oraz znak równości (=). To jedne z najważniejszych symboli matematycznych, ponieważ pojawiają się już przy pierwszych ćwiczeniach z porównywania liczb. Jak wygląda znak większości i w którą stronę jest skierowany Dla wielu dzieci i początkujących najtrudniejsze nie jest samo znaczenie symbolu, ale to, w którą stronę jest skierowany. Dlatego warto zapamiętać nie tylko jego nazwę, ale też wygląd. Jak rozpoznać kierunek znaku Najważniejsza zasada jest prosta: szpic znaku wskazuje liczbę mniejszą, a szerokie „otwarcie” jest zawsze po stronie liczby większej. W zapisie 7 > 3 otwarta część znaku znajduje się przy liczbie 7, bo to ona jest większa. Szpic jest skierowany do 3, czyli do liczby mniejszej. To najprostszy sposób, by zrozumieć…

dziewczynka-ktora-odrabia-lekcje-5170e39.jpg
width: 1600
height: 1200

Policz, ile trójkątów jest na obrazku. Tylko mistrz poda dobry wynik w 15 sekund
type: item
date: 2026-05-09T07:15:04.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Na pierwszy rzut oka ta zagadka geometryczna wydaje się banalna. Kilka linii, jeden trójkąt... i mamy to! A jednak wiele osób podaje zły wynik. Sprawdź, czy też wpadniesz w pułapkę trójkątów i poznaj trik, który rozwiązuje tę zagadkę w kilka sekund.
encoded: Prawidłowa kolejność wykonywania działań mogła już dawno wyparować nam z głów, ale chyba liczyć do 100 wciąż potrafimy? Problem w tym, że w tej zagadce wynik jest znacznie niższy niż 100, a mimo to wiele osób się gubi i podaje błędną odpowiedź. Dlaczego? Bo próbujemy liczyć „na oko” i łatwo przeoczyć część figur. Zagadka brzmi prosto: ile trójkątów jest na rysunku? Przy takich łamigłówkach wiele osób stosuje intuicyjną metodę: przesuwa palcem po ekranie i liczy w głowie kolejne trójkąty. To całkiem skuteczny sposób... do momentu, aż figura robi się bardziej skomplikowana albo się pomylimy i już nie wiemy, czy policzyliśmy dany trójkąt, czy jeszcze nie. Wtedy łatwo się pogubić – policzyć coś dwa razy albo pominąć mniejszy trójkąt ukryty między liniami. Dlatego istnieje prostszy i sprytniejszy trik. Prosty trik, który daje pewny wynik Zamiast szukać wszystkich trójkątów po kolei, wystarczy skupić się na najmniejszych elementach. W tym przypadku w dużym trójkącie znajdują się 4 małe trójkąty (wyznaczone przez podział podstawy). Teraz kluczowy krok: dodajemy do siebie kolejne liczby od 1 do 4. Czyli: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 I to właśnie jest liczba wszystkich trójkątów ukrytych w całej figurze: na rysunku znajduje się 10 trójkątów. Dla pewności możesz jeszcze raz policzyć je w pamięci. Niezależnie od metody, wynik będzie ten sam. Udało ci się znaleźć wszystkie za pierwszym razem, czy jednak ta zagadka cię zmyliła? A tu możesz zobaczyć filmik z trikiem, jak liczyć figury w tego typu zagadkach: View oEmbed on the source website Zobacz także: To zadanie z 4 klasy rozkłada dorosłych na łopatki. Tylko geniusz obliczy bez kalkulatora

zagadka-z-trojkatem-ile-trojkatow-jest-na-rysunku-1582503.jpg
width: 1600
height: 1200

Matura 2026: o ile wzrosła lokata w banku? To zadanie z haczykiem przerasta dorosłych
type: item
date: 2026-05-05T13:15:01.000Z
creator: Magdalena Drab
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: matematyka
subject: matura
description: Choć na pierwszy rzut oka polecenie wydawało się banalnie proste, to jeden sprytnie ukryty szczegół sprawił, że nawet dorośli muszą dwa razy przemyśleć swoją odpowiedź.
encoded: Publikacja arkuszy egzaminacyjnych przez Centralną Komisję Egzaminacyjną co roku wywołuje falę analiz, ale rzadko które zadanie budzi tak duże emocje jak tegoroczny test maturalny z matematyki. Wśród standardowych równań pojawiło się zadanie sprawdzające praktyczną wiedzę finansową maturzystów. Jak się okazuje, pułapka zastawiona przez egzaminatorów okazała się skuteczna nie tylko w przypadku uczniów. Zbiła z tropu także wielu rodziców, którzy próbowali zweryfikować wyniki swoich dzieci. Klucz do sukcesu tkwił w zrozumieniu mechanizmu procentu składanego. CKE postawiła na zadanie praktyczne, co wpisuje się w trend kładzenia większego nacisku na edukację finansową młodych dorosłych. Jednak to właśnie prozaiczność sytuacji − wpłata pieniędzy do banku − uśpiła czujność wielu osób, prowadząc do zignorowania kluczowego elementu operacji finansowej. Procent składany czy podwójna pułapka? Oto treść zadania z matematyki Warto przyjrzeć się dokładnej treści polecenia, które wywołało tyle kontrowersji: „Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie − zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa...?”. Analiza tego zadania pokazuje, że maturzyści musieli zmierzyć się z dwoma wyzwaniami jednocześnie. Pierwszym był sam mechanizm odsetek od odsetek. Drugim, znacznie bardziej podstępnym, było precyzyjne sformułowanie pytania. Egzaminatorzy nie oczekiwali podania końcowego stanu konta, ale wyłącznie sumy wypracowanych zysków. To częsty zabieg na egzaminach państwowych − uczeń, który poprawnie przeprowadzi obliczenia finansowe, ale nie doczyta ostatniego zdania, ostatecznie wybierze błędną opcję, wskazując kapitał końcowy zamiast samych odsetek. Rozwiązanie krok po kroku: dlaczego wynik 1200 zł to błąd? Aby zrozumieć, gdzie leżał haczyk, należ…

matura-matematyka-843d2ea.png
width: 1600
height: 1200

Pod żadnym pozorem nie rób tego przed wejściem na maturę. Unieważnią egzamin
type: item
date: 2026-05-05T06:34:27.000Z
creator: Hanna Szczesiak
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: matura
description: Kilka sekund może zadecydować o unieważnieniu matury z matematyki. W dniu egzaminu wielu uczniów popełnia ten sam błąd – sięgają po telefon „tylko na chwilę”. To ryzyko, którego naprawdę nie warto podejmować.
encoded: Matura z matematyki to dla wielu uczniów jeden z najbardziej stresujących egzaminów. Nic dziwnego, że tuż przed wejściem na salę pojawia się pokusa, by jeszcze raz coś sprawdzić – wzór, zadanie, a czasem nawet rzekome „przecieki”. Problem w tym, że ten nawyk może mieć bardzo poważne konsekwencje. I nie chodzi tylko o dodatkowy stres. „Tylko zerknę w telefon” – najczęstszy błąd maturzystów Wielu uczniów tuż przed egzaminem przegląda telefon. Czasem są to notatki, czasem grupy klasowe, a czasem informacje o możliwych zadaniach. W teorii to niewinne zachowanie. W praktyce – prosta droga do problemów. Dlaczego? Bo w pośpiechu łatwo zapomnieć, że telefon nadal jest w kieszeni lub torbie. A zgodnie z zasadami egzaminacyjnymi, wniesienie telefonu na salę jest zabronione – nawet jeśli nie zostanie użyty. Unieważnienie egzaminu – realne konsekwencje Jeśli komisja zauważy telefon przy zdającym, sytuacja jest bardzo poważna. Nie ma znaczenia, czy urządzenie było używane. Sam fakt jego posiadania może skutkować unieważnieniem egzaminu. To oznacza: brak wyniku z matury z matematyki, konieczność przystąpienia do egzaminu w innym terminie, dodatkowy stres i komplikacje w rekrutacji na studia. Warto pamiętać, że komisje egzaminacyjne są w tej kwestii bardzo rygorystyczne. Nie ma miejsca na tłumaczenia typu „zapomniałem”. Jak się zabezpieczyć przed takim błędem? Najprostsze rozwiązania są często najskuteczniejsze: odłóż telefon odpowiednio wcześniej – najlepiej jeszcze przed wejściem do szkoły, nie sprawdzaj niczego na ostatnią chwilę – to tylko zwiększa stres, zrób „kontrolę kieszeni” przed wejściem na salę, skup się na spokoju, a nie na szukaniu informacji w internecie. To drobne nawyki, które mogą uchronić przed bardzo poważnymi konsekwencjami. Matura z matematyki to ważny moment, ale też sytuacja, w której liczy się opanowanie i rozsądek. Nawet najlepsze przygotowanie może pójść na marne przez jeden nieprzemyślany gest. Dlatego, zanim wejdziesz na salę, upewnij się, że masz przy…

matura-2026-uczniowie-piszacy-egzamin-z-matematyki-98b3009.jpg
width: 1600
height: 1200

Są już pierwsze przecieki matury z matematyki. W sieci krążą zdjęcia arkuszy
type: item
date: 2026-05-05T06:12:08.000Z
creator: Hanna Szczesiak
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: matura
subject: szkoła
description: Matura z matematyki 2026 rozpoczyna się we wtorek 5 maja o 9:00, a uczniowie od rana przeczesują sieć w poszukiwaniu „pewniaków” i domniemanych przecieków. W trendach pojawiają się m.in. statystyka, rachunek prawdopodobieństwa i równania z wieloma niewiadomymi. Są też pierwsze zdjęcia arkuszy.
encoded: Matura z matematyki 2026 na poziomie podstawowym rusza 5 maja o godz. 9:00 w szkołach w całej Polsce. Jeszcze przed wejściem na salę wielu maturzystów (i ich rodziców) przegląda internet w poszukiwaniu „pewniaków” oraz sygnałów, że gdzieś pojawił się arkusz. Na X (dawnym Twitterze) już pojawiają się pierwsze zdjęcia arkuszy. Czy są prawdziwe? Wątpliwe. Matura 2026 z matematyki: przecieki Ten sam scenariusz pojawia się co roku: im bliżej godziny „zero”, tym szybciej rosną emocje i liczba wpisów o rzekomych przeciekach. Na X od rana krążą zdjęcia arkuszy. View oEmbed on the source website W wyszukiwaniach i rozmowach szczególnie często przewijają się trzy obszary: statystyka, rachunek prawdopodobieństwa oraz równania z wieloma niewiadomymi. View oEmbed on the source website Te same działy pojawiają się także w medialnych typowaniach, m.in. przypisywanych Jasnowidzowi z Człuchowa. Warto jednak trzymać się chłodnej oceny: trendy w sieci, ani nawet zdjęcia arkuszy na X, nie są dowodem na to, co faktycznie znajdzie się w arkuszu. View oEmbed on the source website Matura 2026 z matematyki: co musisz wiedzieć? Egzamin maturalny z matematyki trwa 180 minut. Arkusz zawiera zadania zamknięte i otwarte. Do zdobycia jest maksymalnie 50 punktów, a próg zdawalności to 30% – czyli minimum 15 punktów. Dla wielu uczniów to właśnie ta mieszanka form bywa najbardziej wymagająca: zadania zamknięte sprawdzają szybkie decyzje i podstawowe umiejętności, a otwarte wymagają samodzielnego rozwiązania i pokazania toku rozumowania. Jeśli w domu od rana narasta napięcie, może pomóc prosta rzecz: zamiast nerwowego przewijania Twittera w poszukiwaniu przecieków, lepiej nastawić się na spokojne zarządzanie czasem. To często robi większą różnicę niż ostatnia, przypadkowa powtórka. Matura 2026 z matematyki: co powtórzyć? Mimo przecieków i zdjęć arkuszy w sieci nie mamy pewności, czy nie zostały wygenerowane przez AI lub nie pochodzą z poprzednich lat. Warto jednak przypomnieć sobie typy zagadnień, kt…

matura-2026-sala-egzaminacyjna-6e8d376.jpg
width: 1600
height: 1200

Zagadka: ile trójkątów jest na obrazku? Mało kto znajdzie wszystkie
type: item
date: 2026-05-02T08:35:48.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Na pierwszy rzut oka wygląda banalnie. Ot, kilka linii, jeden większy kształt... ale właśnie tu większość osób się wykłada. Policzysz wszystkie trójkąty?
encoded: Ile trójkątów widzisz powyżej? 6? 10? A może 12? Jeśli Twoja odpowiedź to jedna z tych liczb, mam złą wiadomość – musisz policzyć jeszcze raz. Ten niepozorny rysunek to klasyczna pułapka dla naszego mózgu. Skupiamy się na największych i najbardziej oczywistych kształtach, a zupełnie ignorujemy te „ukryte”, powstałe z połączenia mniejszych fragmentów. A to właśnie one robią całą różnicę. Ile trójkątów jest na obrazku? Rozwiązanie Na obrazku masz: duży trójkąt zewnętrzny, dwa poziome „piętra” skrywające mniejsze trójkąty, oraz linie dzielące całość na mniejsze sekcje. I teraz zaczyna się zabawa – bo trójkąty tworzą się nie tylko w najmniejszych fragmentach, ale też: z połączeń kilku małych, w środkowych warstwach, oraz w całych większych częściach figury. No dobrze, to ile ich jest? Jeśli policzysz naprawdę dokładnie wszystkie możliwe trójkąty, otrzymasz odpowiedź: 18. Nie przejmuj się – większość ludzi za pierwszym razem podaje zły wynik. A na poniższym filmie możesz zobaczyć, jak policzyć trójkąty, żeby znaleźć wszystkie: View oEmbed on the source website Dlaczego to takie trudne? Bo nasz mózg lubi uproszczenia. Widzi schemat i przestaje analizować szczegóły. A takie zagadki świetnie pokazują, jak łatwo coś przeoczyć, nawet gdy patrzymy na to wprost. Spróbuj pokazać ten obrazek dzieciom — gwarantuję, że będą kombinować zupełnie inaczej niż dorośli. ;) Zobacz także: Tylko dla spostrzegawczych: ile kwadratów jest na obrazku? Mało kto znajdzie wszystkie

zagadka-ile-trojkatow-jest-na-rysunku-8c67cc5.jpg
width: 1600
height: 1200