Mamotoja.pl
type: channel
link: https://mamotoja.pl
date: 2026-02-11T14:12:04.000Z
update period: hourly
update frequency: 1
update base: 2000-01-01T12:00+00:00
items: Funkcja wykładnicza i logarytmiczna – definicje, wzory i zastosowania
items: Funkcja liniowa: definicja, wzór, właściwości i przykłady
items: Ułamek jako iloraz: definicja, przykłady i zadania
items: Co to iloczyn i iloraz? Definicje, różnice i przykłady
items: Iloraz w matematyce: definicja, przykłady i różnice
items: Funkcja homograficzna i wymierna: definicja, wzory, przykłady
items: Wiele osób wykłada się na tym kontrowersyjnym zadaniu. 100 lat temu wynik byłby inny
items: Wstyd, że dorośli nie dają rady tego policzyć. Dziecku wystarczy 15 sekund
items: Rozruszaj szare komórki: czy odpowiedź A jest poprawna? To zagadka dla myślących
items: Tajemnicze trójki rozkładają dorosłych na łopatki. Dziecko obliczy to równanie w 30 sekund
items: Z pozoru banał, ale za dużo nawiasów. Obliczysz to równanie bez kalkulatora?
items: Dorośli wykładają się na zadaniu z dwójkami. Dla ucznia 4 klasy to bułka z masłem
items: Dorośli kłócą się o to banalne równanie. Nie każdy zna poprawny wynik
items: Wzory skróconego mnożenia wielomiany: zastosowanie i przykłady
items: Wszystkie wzory skróconego mnożenia: kwadrat i sześcian
items: Dziecku wystarczy 30 sekund, rodzice się męczą. Zagadka z samymi 4 przerasta dorosłych
items: Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia z przykładami i wyjaśnieniem
items: Wzory skróconego mnożenia 4 stopnia: definicja i przykłady
items: To banalna zagadka dla dzieci, a dorośli się wykładają. Zapominają o ważnej zasadzie
items: Wzory skróconego mnożenia z przykładami i zastosowaniem
items: Nie 10 i nie 100. Tyle godzin korepetycji z matematyki wystarczy, by zdać maturę
items: Dziecinnie proste równanie. Dziecko rozwiąże, a dorosły policzy źle
items: Matura z matematyki 2023: zmiany, wymagania, arkusze
items: Tabliczka mnożenia na palcach: metoda krok po kroku
items: Wzór na długość odcinka

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna – definicje, wzory i zastosowania
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj różnice, wzory i zastosowania: funkcja wykładnicza i logarytmiczna ułatwia rozwiązywanie równań, analizę wykresów oraz zadania maturalne. Sprawdź!
encoded: Funkcja wykładnicza i logarytmiczna odgrywają kluczową rolę nie tylko w matematyce, ale też w naukach ścisłych, ekonomii czy biologii. Obie są ze sobą powiązane, funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej. Dzięki temu możesz swobodnie przechodzić między równaniami i łatwiej rozwiązywać różnorodne zadania. Zrozumienie, czym różni się funkcja wykładnicza od logarytmicznej, jak wyglądają ich wzory ogólne, własności oraz wykresy, pomaga nie tylko przy egzaminach. To także podstawa do analizy wzrostu populacji, dawek leków czy skali dźwięku. Znajomość zastosowań i przekształceń pozwala lepiej interpretować zależności matematyczne i praktyczne przykłady z nauki czy technologii. Definicja funkcji wykładniczej i logarytmicznej Ogólna postać i warunki istnienia funkcji wykładniczej Funkcja wykładnicza to funkcja o ogólnym wzorze ( y = a^x ), gdzie podstawa potęgi ( a ) spełnia warunki: ( a > 0 ) i ( a neq 1 ) . Podstawą potęgi nazywamy liczbę ( a ), a wykładnikiem liczbę ( x ). Funkcja wykładnicza opisuje sytuacje, w których zmiana wartości x powoduje wykładniczy wzrost lub spadek wartości y. Przykłady funkcji wykładniczych: ( y = 2^x ) (dla ( a=2 )), ( y = 0,5^x ) (dla ( a=0,5 )), ( y = e^x ) (gdzie ( e ) to stała matematyczna, tzw. „podstawa logarytmu naturalnego”). Dla ( a > 1 ) funkcja wykładnicza jest rosnąca; dla ( 0 < a < 1 ) jest malejąca. Ogólna postać i warunki istnienia funkcji logarytmicznej Funkcja logarytmiczna opisana jest wzorem ( y = log_a x ), gdzie ( a > 0 ), ( a neq 1 ), a argument ( x > 0 ) . Logarytm odpowiada na pytanie: „do jakiej potęgi należy podnieść ( a ), by otrzymać ( x )?” – formalnie ( log_a x = y ) oznacza ( a^y = x ). Przykłady to: ( y = log2 x ), ( y = log{10} x ), ( y = ln x ) (logarytm naturalny o podstawie ( e )). Różne podstawy wpływają na przebieg wykresu funkcji. Własności i dziedziny funkcji wykładniczej i logarytmicznej Dziedzina i zbiór wartości funkcji wykładniczej Dziedziną funkcji wykładniczej ( y = a^x ) są ws…

Edukacja-4-5db62df.jpg
width: 1600
height: 1200

Funkcja liniowa: definicja, wzór, właściwości i przykłady
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj definicję, wzory i własności funkcji liniowej. Zrozum zależność między a i b, naucz się rysować wykresy oraz rozwiązywać typowe zadania!
encoded: Funkcja liniowa to zależność liczbową przedstawioną równaniem y = ax + b, w którym a oznacza współczynnik kierunkowy, a b wyraz wolny. Taki zapis umożliwia dokładne określenie, jak zmiana jednej wartości wpływa na drugą, a wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta. W praktyce wystarczy wyznaczyć dwa punkty, by narysować jej wykres i zobaczyć, czy funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała. Rozpoznanie własności funkcji liniowej, takich jak monotoniczność, miejsca przecięcia z osiami oraz wyliczanie miejsc zerowych, to podstawa nie tylko przy rozwiązywaniu typowych zadań szkolnych, ale także na maturze. Poznanie wzoru funkcji liniowej i jej przykładowych zastosowań pomaga utrwalić praktyczne umiejętności, które przydadzą się w analizie różnych problemów matematycznych. Definicja funkcji liniowej – co to jest? Funkcja liniowa to funkcja matematyczna określona wzorem: y = ax + b W tym wzorze: a to współczynnik kierunkowy prostej, b to wyraz wolny. Funkcja liniowa opisuje zależność liniową między dwiema zmiennymi – jeśli jedna z nich zmienia się o określoną wartość, druga zmienia się proporcjonalnie. Wykresem funkcji liniowej jest zawsze linia prosta, która może być nachylona (rośnie lub maleje) lub pozioma (funkcja stała, gdy a = 0), lecz nigdy zakrzywiona. O funkcji liniowej mówimy zarówno wtedy, gdy a ≠ 0 (czyli funkcja nie jest stała), jak i wtedy, gdy a = 0 (funkcja stała). W literaturze można spotkać obydwa podejścia. Wzór funkcji liniowej – postać ogólna i kierunkowa Najczęściej używany wzór funkcji liniowej to: y = ax + b a – współczynnik kierunkowy decydujący o tym, jak stromo przebiega wykres funkcji liniowej, b – wyraz wolny, czyli miejsce przecięcia się wykresu z osią Y. W praktyce funkcja liniowa może być zapisana w różnych postaciach: postać kierunkowa: y = ax + b, postać ogólna: Ax + By + C = 0, gdzie można to przekształcić do y = ax + b, rzadziej stosowana postać odcinkowa, wskazująca, gdzie wykres przecina osie układu współrzędnych. Warto umieć przeksz…

Edukacja-18-0de3cde.jpg
width: 1600
height: 1200

Ułamek jako iloraz: definicja, przykłady i zadania
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Dowiedz się, jak ułamek jako iloraz ułatwia codzienne obliczenia, dzielenie i naukę matematyki. Poznaj praktyczne przykłady i proste wyjaśnienia!
encoded: Ułamek jako iloraz to nie tylko wygodny zapis w matematyce, ale i klucz do zrozumienia codziennych sytuacji, takich jak dzielenie jabłek między dzieci. Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a każda operacja typu „dzielna podzielić przez dzielnik” może być przedstawiona jako ułamek zwykły, gdzie licznik to dzielna, a mianownik to dzielnik. Dzięki temu łatwiej opanować zarówno proste, jak i bardziej złożone działania na ułamkach, przechodzić do zamiany ułamków niewłaściwych na liczby mieszane czy sprawnie liczyć proporcje oraz procenty. Zrozumienie, czym dokładnie jest ułamek jako iloraz, pozwala lepiej radzić sobie z praktycznymi zadaniami nie tylko w szkole. Ten temat stanowi ważny krok w nauce matematyki i pracy z wieloma typami obliczeń spotykanymi na co dzień. Definicja ułamka jako ilorazu Co to jest ułamek jako iloraz Ułamek jako iloraz to sposób zapisywania dzielenia dwóch liczb za pomocą zapisu ułamkowego. Jeśli masz działanie 3 podzielić przez 4, czyli 3:4, to można je zapisać jako ułamek zwykły ¾. Każdy wynik dzielenia, w którym dzielna i dzielnik są liczbami naturalnymi (oprócz dzielenia przez zero), można wyrazić w postaci ułamka. Jest to bardzo wygodne, bo działanie dzielenia zostaje przedstawione za pomocą jednej kreski oddzielającej dwie liczby. Dzięki temu dziecku łatwiej zobaczyć, czym jest ułamek jako wynik dzielenia i jak zamienić ułamek na iloraz, i odwrotnie. Różnica pomiędzy znakiem dzielenia a kreską ułamkową Tradycyjny znak dzielenia (:) często spotykasz w zadaniach. Natomiast kreska ułamkowa w zapisie ułamka zwykłego ma dokładnie tę samą rolę. Oznacza ona po prostu „dzielenie przez”. Zapis 3:4 oznacza to samo co ¾, kreska ułamkowa zastępuje tutaj znak dzielenia. To kluczowa informacja, która pozwala lepiej zrozumieć działania na ułamkach i przechodzenie między dzieleniem a zapisem ułamkowym. Znaczenie kreski ułamkowej jako znaku dzielenia Kreska ułamkowa to uniwersalny zamiennik dla działania „dzielić przez”. Gdy widzisz ułamek, na przykła…

Edukacja-2026-02-07T105200.529-1a95307.jpg
width: 1600
height: 1200

Co to iloczyn i iloraz? Definicje, różnice i przykłady
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Co to iloczyn i iloraz? Poznaj różnice i definicje. Naucz się łatwo rozróżniać mnożenie i dzielenie oraz stosować je w codziennych zadaniach.
encoded: Iloczyn i iloraz to jedne z najważniejszych pojęć matematycznych pomagających rozwiązywać zadania z mnożenia i dzielenia. Znajomość tych terminów pozwala poprawnie odczytywać polecenia i unikać typowych pomyłek, zwłaszcza podczas szkolnych ćwiczeń. Iloczyn to wynik mnożenia, powstający po połączeniu czynników, natomiast iloraz jest efektem dzielenia dzielnej przez dzielnik. W matematyce używa się też mnemotechniki: „CZYNnik z iloCZYNEM” i „dzielenie z iloRAZEM”, dzięki czemu łatwiej zapamiętać, czym różnią się podstawowe działania. Zrozumienie, co to iloczyn i iloraz, ułatwia wyciąganie poprawnych wniosków z tekstów zadań. Poznanie definicji każdego z tych pojęć pomaga nie tylko rozwiązywać równania, ale także zastosować je w praktyce, na przykład podczas robienia zakupów, liczenia kosztów lub podziału na równe części. Definicja iloczynu i ilorazu Definicja iloczynu, co to jest iloczyn w matematyce? Iloczyn to wynik mnożenia, czyli liczba, która powstaje po pomnożeniu przez siebie dwóch lub więcej liczb. Innymi słowy, jeśli pomnożysz dwie liczby, otrzymujesz iloczyn. Przykładowo: 2 x 4 = 8 (iloczynem liczb 2 i 4 jest 8) 4 x 9 = 36 (iloczynem liczb 4 i 9 jest 36) Liczby, które mnożymy, nazywamy czynnikami. Działanie wygląda tak: czynnik x czynnik = iloczyn W matematyce zapisujemy je często z użyciem znaku "x" lub kropki (·), np. 3 · 5 = 15. Mnożenie to powtarzane dodawanie tej samej liczby, np. 2 x 4 oznacza 2+2+2+2. Pomocna mnemotechnika do zapamiętania: „CZYNnik x CZYNnik = iloCZYN”. Definicja ilorazu, co to jest iloraz i jak go obliczyć? Iloraz to wynik dzielenia, czyli liczba uzyskana po podzieleniu jednej liczby (dzielnej) przez drugą (dzielnik). Przykłady: 6: 2 = 3 (ilorazem jest 3) 12: 3 = 4 (ilorazem jest 4) W dzieleniu rozróżniamy dwie liczby: dzielna: dzielnik = iloraz Dzielenie zapisujemy jako 12: 3 = 4 lub z użyciem kreski ułamkowej: 12/3 = 4. Ważne: nie wolno dzielić przez zero! Często iloraz przedstawiamy jako ułamek, np. m/n albo a/b, gdzie b ≠ 0. Nazw…

Edukacja-2026-02-04T100614.717-7c94ace.jpg
width: 1600
height: 1200

Iloraz w matematyce: definicja, przykłady i różnice
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Dowiedz się, czym jest iloraz, jak go obliczać i odróżniać od iloczynu. Poznaj zasady dzielenia i unikaj błędów w zadaniach matematycznych!
encoded: Iloraz to matematyczna nazwa wyniku dzielenia, jednej z czterech podstawowych operacji arytmetycznych. W każdym działaniu tego typu występują trzy elementy: dzielna, dzielnik i iloraz, które łatwo pomylić z innymi określeniami, zwłaszcza z iloczynem używanym przy mnożeniu. Przykład: w działaniu 12: 6 = 2, liczba 12 jest dzielną, 6 dzielnikiem, a 2 to właśnie iloraz. Znajomość poprawnych nazw i zasad dzielenia, w tym zakazu dzielenia przez zero, pomaga uniknąć najczęstszych błędów podczas rozwiązywania zadań matematycznych. Zrozumienie różnicy między ilorazem a iloczynem ma kluczowe znaczenie nie tylko na lekcjach, ale i w codziennych sytuacjach wymagających logicznego myślenia. Definicja ilorazu w matematyce Co to jest iloraz? Iloraz w matematyce to wynik dzielenia jednej liczby przez drugą. Jeżeli mamy działanie 12: 6, to liczbą 12 jest dzielna, 6 to dzielnik, a 2 to iloraz, czyli liczba uzyskana w wyniku dzielenia dzielnej przez dzielnik. Jak powstaje iloraz w działaniu dzielenia? Iloraz powstaje wtedy, gdy jedna liczba (dzielna) zostaje podzielona przez inną (dzielnik). Wynik tego działania to właśnie iloraz. Na przykład: 20: 5 = 4. Dzielna to 20, dzielnik to 5, a 4 to iloraz. Oznacza to, że liczba 20 podzielona na pięć równych części daje cztery w każdej części. Iloraz a inne terminy matematyczne Iloraz jest jednym z podstawowych wyników działań matematycznych: suma – wynik dodawania, różnica – wynik odejmowania, iloczyn – wynik mnożenia, iloraz – wynik dzielenia. Dla jasności, zawsze warto poprawnie używać tych nazw, bo błędne przypisanie np. iloczynu do dzielenia jest częstym źródłem pomyłek u uczniów. Elementy działania dzielenia Dzielna, dzielnik i iloraz – wyjaśnienie pojęć W działaniu dzielenia występują trzy podstawowe elementy: dzielna: liczba, którą dzielimy, dzielnik: liczba, przez którą dzielimy, iloraz: wynik dzielenia. Dla przykładu w działaniu 18: 3 = 6: 18 to dzielna, 3 to dzielnik, 6 to iloraz. Zasady poprawnego zapisu działań z ilorazem Działani…

Edukacja-2026-02-04T100507.571-b8f3b12.jpg
width: 1600
height: 1200

Funkcja homograficzna i wymierna: definicja, wzory, przykłady
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj definicję, własności i przekształcenia funkcji homograficznej. Zobacz, jak wyznaczać dziedzinę, asymptoty i wykres hiperboli. Sprawdź przykłady!
encoded: Funkcja homograficzna jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej, którą zapisuje się wzorem f(x) = (ax + b) / (cx + d), gdzie c ≠ 0 i ad − bc ≠ 0. Kluczowe dla tej funkcji są jej charakterystyczne własności: dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych oprócz x = –d/c, a jej wykres to hiperbola z dwiema prostymi asymptotycznymi, pionową i poziomą. Przekształcenie wzoru do postaci kanonicznej, czyli f(x) = r / (x – p) + q, ułatwia analizę zachowania funkcji homograficznej oraz wyznaczanie asymptot. Zbiór wartości obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz y = a/c. Ten typ funkcji znajdziesz nie tylko w matematyce; spotykany jest również w fizyce i kartografii, dzięki czemu jego znajomość pozwala rozwiązywać różnorodne zadania. Definicja i charakterystyka funkcji homograficznej Co to jest funkcja homograficzna Funkcja homograficzna to szczególny przypadek funkcji wymiernej o wzorze: f(x) = (ax + b) / (cx + d), gdzie a, b, c, d to ustalone liczby rzeczywiste, c ≠ 0 oraz ad − bc ≠ 0. Warunek c ≠ 0 zapewnia, że w mianowniku jest zmienna, a wyznacznik ad − bc ≠ 0 chroni przed powtarzaniem tych samych wyrażeń w liczniku i mianowniku, co prowadziłoby do funkcji stałej zamiast homograficznej. Ogólną postać wzoru funkcji homograficznej uznaje się za wyjście do analizy jej własności i wykresu. Funkcja homograficzna a funkcja wymierna Funkcja homograficzna należy do funkcji wymiernych, ale wyróżnia ją właśnie opisany wyżej wzór: w liczniku i mianowniku występują wyrażenia liniowe. Typową funkcję wymierną można rozpoznać po tym, że jej licznik albo mianownik to dowolne wielomiany, natomiast funkcję homograficzną poznasz po tym, że oba te wyrażenia mają stopień co najwyżej pierwszy i spełniają warunek ad − bc ≠ 0. Dzięki temu można szybko odróżnić funkcję homograficzną od innych funkcji wymiernych, które np. mają kwadrat lub wyższą potęgę w jednym z wyrażeń. Dziedzina i zbiór wartości funkcji homograficznej Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji homograficznej Dziedzina funkcji h…

Edukacja-14-5f9642f.jpg
width: 1600
height: 1200

Wiele osób wykłada się na tym kontrowersyjnym zadaniu. 100 lat temu wynik byłby inny
type: item
date: 2026-01-06T09:00:47.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Czy potrafisz rozwiązać to pozornie proste równanie: 48÷2(9+3)? Choć dziś wystarczy wpisać je w wyszukiwarkę, by w kilka sekund uzyskać poprawny wynik, ponad 100 lat temu zostałby on uznany za błąd.
encoded: Równanie 48÷2(9+3) z pozoru wydaje się proste, jednak jego rozwiązanie wywołuje ogromne emocje wśród internautów. Wszystko za sprawą dwóch potencjalnych odpowiedzi: 2 oraz 288. Różnice wynikają z tego, jak dana osoba interpretuje kolejność wykonywania działań matematycznych. Podczas gdy obecne zasady jasno wskazują prawidłowy wynik, w 1917 roku taka odpowiedź zostałaby uznana za błędną. Jaka jest poprawna kolejność działań matematycznych? Zgodnie z aktualnymi zasadami matematycznymi kolejność wykonywania działań przedstawia się następująco: najpierw działania w nawiasach, dalej potęgowanie, później mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), na końcu dodawanie i odejmowanie (również od lewej do prawej). Kiedy w równaniu pojawiają się mnożenie i dzielenie obok siebie, należy wykonywać je w kolejności występowania – czyli od lewej do prawej strony. Dlatego tak istotne jest, aby nie przypisywać nieuzasadnionego pierwszeństwa nawiasowi, który symbolizuje mnożenie. Jak obliczyć równanie 48÷2(9+3)? Rozwiązanie krok po kroku W omawianym równaniu 48÷2(9+3) zaczynamy od dodawania w nawiasie. Następnie wykonujemy dzielenie, bo to ono pojawia się pierwsze w zadaniu, na końcu mnożenie. Przejdźmy przez proces rozwiązania równania krok po kroku: 48÷2(9+3)=? 48÷2(12)=? 24x12=288 Prawidłowa odpowiedź to 288. Błędne rozwiązanie może pojawić się, jeśli potraktujemy nawias jako priorytetowy element działania. Taka interpretacja jest niezgodna z obecnie obowiązującymi zasadami matematyki, choć – jak wskazuje Presh Talwalkar – ponad 100 lat temu mogła być uznana za prawidłową. Co zmieniło się od 1917 roku w zasadach matematyki? Źródłem kontrowersji jest różna interpretacja pozostałego nawiasu w wyrażeniu. Dla niektórych oznacza on pierwszeństwo wykonania działania, co prowadzi do wyniku 2, inni traktują go jako mnożenie, które należy wykonać zgodnie z zasadami kolejności, dając wynik 288. O tym zagadnieniu mówi również matematyk Presh Talwalkar na swoim kanale YouTube MindYourDecisions, …

zagadka-ile-to-jest-48293-2e0d57a.jpg
width: 1600
height: 1200

Wstyd, że dorośli nie dają rady tego policzyć. Dziecku wystarczy 15 sekund
type: item
date: 2025-12-31T10:09:15.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Zagadka 60÷6(9+1) wydaje się dziecinnie prosta, ale to właśnie dorośli masowo się na niej wykładają. W sieci trwa gorąca dyskusja – czy prawidłowa odpowiedź to 1 czy 100? A może 20?
encoded: Z pozoru banalna zagadka matematyczna 60÷6(9+1) wzbudza ogromne emocje wśród internautów. Choć wielu dorosłych uważa się za osoby biegłe w podstawowych działaniach matematycznych, to właśnie oni najczęściej padają ofiarą tej pułapki. Co ciekawe, dzieci – które dopiero uczą się matematyki – często rozwiązują ją bezbłędnie. Ta sytuacja stała się tematem gorącej dyskusji w sieci. Pod wpisem, który pojawił się na platformie X (dawniej Twitter), pojawiło się prawie 400 komentarzy. Internauci spierali się, jaka jest prawidłowa odpowiedź: 1 czy 100? Pojawiały się również inne wyniki, takie jak 91 czy 20, co tylko potwierdza, jak dużym wyzwaniem może być poprawne rozwiązanie tej łamigłówki... Jaka jest prawidłowa odpowiedź? Aby rozwiązać zagadkę 60÷6(9+1), należy przypomnieć sobie zasady kolejności wykonywania działań matematycznych. Są one następujące: działania w nawiasach, potęgowanie, mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej). Stosując te reguły: Najpierw rozwiązujemy nawias: 9+1 = 10, Następnie wykonujemy dzielenie i mnożenie od lewej do prawej: 60÷6 = 10, Potem 10×10 = 100. Ostateczny wynik to 100. Wielu dorosłych popełnia błąd, ponieważ zakłada, że mnożenie powinno być wykonane przed dzieleniem, co skutkuje obliczeniem 60÷60 = 1. To fundamentalne nieporozumienie pokazuje, jak łatwo zapomnieć podstawowe zasady matematyki. Reakcje internautów – 400 komentarzy pełnych emocji Pod wpisem z zagadką na platformie X rozpętała się prawdziwa burza. Użytkownicy dzielili się swoimi odpowiedziami, argumentowali sposoby rozwiązania i próbowali przekonać innych do swoich racji. Pojawiły się dwa dominujące obozy: zwolennicy odpowiedzi 100 oraz ci, którzy uznali, że prawidłowy wynik to 1. View oEmbed on the source website Matematyka oczami dziecka i dorosłego Ciekawym aspektem zagadki jest różnica w sposobie jej rozwiązywania przez dzieci i dorosłych. Dzieci, które dopiero uczą się matematyki i nie są obciążone „skrótami myślowymi” dorosł…

zagadka-ile-to-jest-60691-2fc1699.jpg
width: 1600
height: 1200

Rozruszaj szare komórki: czy odpowiedź A jest poprawna? To zagadka dla myślących
type: item
date: 2025-12-30T10:29:36.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Z pozoru banalna zagadka matematyczna opublikowana na Instagramie wywołała istną burzę – niemal 2000 komentarzy, kłótnie i emocjonalne reakcje internautów. A ty wiesz, która odpowiedź jest poprawna?
encoded: Na Instagramowym profilu użytkowniczki @matylene pojawiła się zagadka matematyczna, która niespodziewanie rozpaliła internautów do czerwoności. Treść zagadki wydawała się prosta – należy wskazać, która z podanych kwot jest najbliższa 100 zł. Zadanie brzmi następująco: spośród czterech kwot – 95,50 zł, 102,99 zł, 103,89 zł i 97,99 zł – należy wybrać tę, która jest najbliższa 100 zł. Choć pytanie wygląda jak typowa zagadka matematyczna, wielu internautów zaczęło doszukiwać się w nim podchwytliwości, co tylko spotęgowało emocje. Rachunki nie kłamią: która kwota naprawdę jest najbliżej 100 zł? Wielu użytkowników Instagrama niemal natychmiastowo wskazało odpowiedź A jako poprawną. W ich opinii – jeśli zagadkę potraktować jako wizualną lub podchwytliwą – odpowiedź A, czyli 95,50 zł, znajduje się najbliżej 100 zł. To wystarczyło, by rozpocząć istną internetową batalię. Analiza matematyczna pozwala jednak spojrzeć na sprawę z chłodnym dystansem. Wystarczy rozłożyć zadanie na czynniki pierwsze i wykonać proste odejmowanie, by sprawdzić, jak bardzo każda z kwot różni się od 100 zł: a) 100 zł - 95,50 zł = 4,50 zł b) 102,99 zł - 100 zł = 2,99 zł c) 103,89 zł - 100 zł = 3,89 zł d) 100 zł - 97,99 zł = 2,01 zł Na podstawie tych wyników najbliższą kwotą do 100 zł jest 97,99 zł, czyli odpowiedź D. To właśnie ta opcja powinna zostać uznana za poprawną – przynajmniej z matematycznego punktu widzenia. Kreatywność kontra matematyka – dwa podejścia do jednej zagadki Cała sytuacja pokazuje, jak różnie można podchodzić do tego typu zagadek – jedni wybierają podejście kreatywne i szukają drugiego dna, inni trzymają się faktów i matematyki. Ci pierwsi mogą traktować zagadkę jako wizualną łamigłówkę, gdzie liczy się pozycja odpowiedzi, a nie jej wartość liczbowa. Dla drugich liczą się wyłącznie liczby – a matematyka nie pozostawia złudzeń. Ta rozbieżność w podejściu okazała się paliwem dla burzliwej dyskusji. Komentarze pod postem przeplatały się od żartobliwych po wręcz agresywne. Niektórzy …

zagadka-ktora-kwota-jest-najblizej-d74f0f8.jpg
width: 1600
height: 1200

Tajemnicze trójki rozkładają dorosłych na łopatki. Dziecko obliczy to równanie w 30 sekund
type: item
date: 2025-12-01T14:05:31.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Proste równanie 3+3×3−3+3 zadziwia dorosłych, choć dzieci rozwiązują je błyskawicznie. Ten matematyczny test krąży po sieci i udowadnia, jak wielu z nas zapomniało już o podstawowych zasadach matematycznych... Podejmiesz wyzwanie?
encoded: To równanie, choć z pozoru wydaje się banalne, sprawia ogromne trudności wielu dorosłym użytkownikom internetu. Równanie wygląda na nieskomplikowane, jednak jego rozwiązanie wymaga znajomości podstawowych zasad matematyki. Chodzi o następujące działanie: 3+3×3−3+3. Dlaczego dzieci radzą sobie lepiej niż dorośli? Dzieci, szczególnie uczniowie klas 4 i 5, mają świeżo w pamięci reguły dotyczące kolejności działań. Tymczasem dorośli, którzy na co dzień nie mają styczności z takimi zadaniami, polegają na intuicji lub pamięci sprzed lat. To często prowadzi do błędnych odpowiedzi. W przypadku równania 3+3×3−3+3 wiele osób najpierw wykonuje działania od lewej do prawej, ignorując kolejność wykonywania działań. Efekt? Niewłaściwy wynik i frustracja. Czy znasz poprawną kolejność działań? To właśnie kolejność działań matematycznych okazuje się kluczowa w tej zagadce. Przypomnijmy podstawową zasadę: Najpierw działania w nawiasach. Następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej strony). Na końcu dodawanie i odejmowanie (również od lewej do prawej strony). Zagadka z trójkami: rozwiązanie W omawianym zadaniu nie ma nawiasów, więc należy najpierw wykonać jedyne mnożenie. Reszta to już tylko proste dodawanie i odejmowanie. Oto jak wygląda poprawne rozwiązanie równania 3+3×3−3+3, zgodnie z zasadami kolejności działań: Najpierw wykonujemy mnożenie: 3×3=9 Dodajemy pierwszą trójkę z lewej: 3+9=12 Następnie odejmujemy kolejną trójkę: 12−3=9 Dodajemy ostatnią trójkę: 9+3=12 Ostateczna odpowiedź brzmi: 12. Dlaczego ta zagadka stała się viralem w sieci? Zadanie z pięcioma trójkami zdobyło ogromną popularność w internecie, zwłaszcza na TikToku i YouTubie. Użytkownicy publikują filmy, w których próbują rozwiązać równanie, porównując swoje odpowiedzi z wynikami internatów. Fenomen zagadki polega na jej pozornej prostocie. Wydaje się, że to banalne działanie, które każdy powinien rozwiązać w kilka sekund. Jednak rzeczywistość okazuje się zupełnie inna – zaskakująco wiele osób popełnia błąd.…

zagadka-z-trojkami-9c2501e.jpg
width: 1600
height: 1200

Z pozoru banał, ale za dużo nawiasów. Obliczysz to równanie bez kalkulatora?
type: item
date: 2025-11-30T07:00:28.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Pozornie proste równanie matematyczne z nawiasami przyprawia dorosłych o ból głowy. Czy potrafisz rozwiązać je bez kalkulatora?
encoded: Dlaczego ta zagadka matematyczna sprawia trudność dorosłym? Równanie [4(5+3)]+6(7-2)-2 może wyglądać groźnie: liczne nawiasy i potrzeba przypomnienia sobie zasad kolejności działań matematycznych sprawiają, że pozornie proste zadanie wywołuje dezorientację. Choć uczniowie szkół podstawowych codziennie mierzą się z podobnymi problemami, dorośli – którzy nie mieli kontaktu z tego typu zadaniami od lat – często czują się bezradni. Zadanie to od lat krąży w sieci, budząc frustrację, ale też rozbawienie internautów, którzy próbowali zmierzyć się z obliczeniami bez pomocy kalkulatora. Jakie są zasady kolejności działań matematycznych? Rozwiązanie tego typu zagadki matematycznej wymaga znajomości podstawowych zasad kolejności działań: Najpierw wykonuje się działania w nawiasach. Następnie należy wykonać mnożenie lub dzielenie. Na końcu wykonuje się dodawanie lub odejmowanie. Bez zrozumienia tej kolejności, wiele osób może dojść do błędnego wyniku. Nawet jeśli działania są poprawnie zapisane, brak dyscypliny w stosowaniu reguł prowadzi do nieprawidłowych rezultatów. Rozwiązanie zadania krok po kroku Rozpatrzmy dokładnie równanie: [4(5+3)]+6(7-2)-2=? Krok 1: Wykonujemy działania w nawiasach: 5+3 = 8 oraz 7-2 = 5 Krok 2: Podstawiamy wyniki do równania: 4×8 + 6×5 - 2 Krok 3: Wykonujemy mnożenie: 32 + 30 - 2 Krok 4: Wykonujemy dodawanie i odejmowanie: 62 - 2 = 60 Ostateczny wynik to 60. Wbrew pozorom, rozwiązanie to jest bardzo proste, pod warunkiem znajomości zasad kolejności działań. Czy uczniowie naprawdę radzą sobie lepiej niż dorośli? Choć może to brzmieć szokująco, wielu dorosłych przyznaje, że miało problem z tym zadaniem, podczas gdy uczniowie szkoły podstawowej rozwiązują je bez większego zastanowienia. Wynika to z faktu, że dzieci są na bieżąco z regułami matematycznymi i ćwiczą je niemal codziennie. Z kolei dorośli, którzy od lat nie mieli styczności z zadaniami wymagającymi znajomości kolejności działań, łatwo popełniają błędy lub po prostu rezygnują z próby rozwiąz…

ile-to-jest-45367-2-2-ace4422.jpg
width: 1600
height: 1200

Dorośli wykładają się na zadaniu z dwójkami. Dla ucznia 4 klasy to bułka z masłem
type: item
date: 2025-11-29T09:00:39.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Ta pozornie prosta zagadka matematyczna – 2+2(2+2x0)+2x0 – okazuje się wyzwaniem dla wielu dorosłych. Dzieci z kolei potrafią rozwiązać ją w zaledwie pół minuty... Sprawdź, czy znasz prawidłową odpowiedź.
encoded: Aby poprawnie rozwiązać równanie 2+2(2+2x0)+2x0, należy pamiętać o kolejności wykonywania działań matematycznych. Obowiązuje zasada: Najpierw nawiasy. Następnie potęgowanie Później mnożenie i dzielenie – od lewej do prawej strony. Na koniec dodawanie i odejmowanie – od lewej do prawej strony. Pominięcie któregoś z tych kroków prowadzi do błędnego wyniku. To właśnie brak tej wiedzy sprawia, że wielu dorosłych popełnia błąd już na samym początku. Dlaczego to równanie jest tak trudne dla dorosłych? Równanie 2+2(2+2x0)+2x0 wygląda na proste, ale układ identycznych cyfr i obecność nawiasów oraz zera sprawiają, że wiele osób nie potrafi go rozwiązać poprawnie. Dorośli często działają z pamięci i pod wpływem intuicji, zamiast krok po kroku zastosować właściwą kolejność operacji. Do najczęstszych pomyłek należą: nieuwzględnianie zasady kolejności działań, błędne rozumienie nawiasów, pomijanie mnożenia przez zero, wykonywanie działań od lewej do prawej bez względu na ich rodzaj. W przypadku tego równania wystarczy źle zinterpretować kolejność lub pominąć jedno zero, aby otrzymać niewłaściwy wynik. Jak obliczyć działanie 2+2(2+2x0)+2x0 krok po kroku? Zadanie z dwójkami może wydawać się podchwytliwe, ale wystarczy postępować zgodnie z kolejnością działań. Zaczynamy zatem od nawiasów. Następnie mnożymy, a na samym końcu dodajemy. Wszystkie działania krok po kroku: 2+2(2+2x0)+2x0=? 2+2(2+0)+2x0=? 2+2(2+0)+0=? 2+4+0=6 Prawidłowy wynik to: 6. View oEmbed on the source website Dodatkowe kroki – jak uniknąć błędów przy podobnych działaniach? Zawsze zaczynaj od nawiasów – nawet jeśli wydają się nieistotne. Mnożenie przez zero to częsty pułap – pamiętaj, że każda liczba pomnożona przez zero daje zero. Nie wykonuj działań w głowie zbyt szybko – zapisuj kolejne kroki. Zachowaj kolejność – najpierw nawiasy, potem mnożenie, na końcu dodawanie. Jeśli masz wątpliwość – użyj kalkulatora lub sprawdź wynik w wyszukiwarce. Dorośli często nie doceniają takich zadań, sądząc, że nie sprawią trudno…

zagadka-ile-to-jest-2222x02x0-266291d.jpg
width: 1600
height: 1200

Dorośli kłócą się o to banalne równanie. Nie każdy zna poprawny wynik
type: item
date: 2025-11-25T14:19:04.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Proste działanie z podstawówki wywołało lawinę komentarzy w internecie. Wydaje się łatwe, ale wielu dorosłych nie zna poprawnego wyniku. A Tobie uda się obliczyć?
encoded: To z pozoru proste zadanie matematyczne z podstawówki wywołało prawdziwą burzę wśród dorosłych internautów. Działanie 5−5x5+5 szybko stało się wiralem, a użytkownicy mediów społecznościowych rozpoczęli zażartą dyskusję o prawidłowym wyniku. Choć zadanie pochodzi z poziomu szkoły podstawowej, to właśnie dorośli mieli z nim największy problem. Problem nie leży w samej trudności zadania, ale w zapomnianych zasadach matematyki, które dla wielu okazują się nieoczywiste po latach od zakończenia edukacji. Gdzie najczęściej popełniamy błąd? Kluczowy błąd, który popełnia wielu dorosłych, polega na nieuwzględnieniu poprawnej kolejności wykonywania działań. W matematyce istnieją jasno określone zasady, które mówią, co należy zrobić najpierw – i właśnie ich pominięcie prowadzi do błędnych odpowiedzi. Większość błędnych odpowiedzi wynika z tego, że osoby rozwiązujące równanie wykonują działania od lewej do prawej strony bez uwzględnienia priorytetu mnożenia nad dodawaniem i odejmowaniem. To pokazuje, jak łatwo można popełnić błąd, jeśli nie pamięta się podstaw matematyki. Zasady matematyczne jasno określają kolejność, w jakiej powinno się wykonywać operacje: Najpierw należy wykonać działania w nawiasach. Następnie potęgowanie. Kolejno dzielenie i mnożenie (od lewej do prawej). Na końcu – dodawanie i odejmowanie (również od lewej do prawej). Jak wygląda poprawne rozwiązanie? W zadaniu 5−5x5+5 nie ma nawiasów ani potęgowania, dlatego pierwsze powinno zostać wykonane mnożenie. Następnie odejmujemy, a na końcu wykonujemy dodawanie. Obliczenia powinny zatem wyglądać następująco: 5−5x5+5 =? 5−25+5=? −20+5=−15 Wynik to −15. Wielu internautów podało inne odpowiedzi, takie jak 0, 5 czy 10, co świadczy o tym, jak bardzo zakorzenione są błędy w rozumieniu kolejności działań. Dlaczego warto ćwiczyć matematykę po latach? Rozwiązywanie takich łamigłówek jak to zadanie matematyczne z podstawówki ma wiele zalet. Wzmacnia pamięć, rozwija logiczne myślenie i uczy dokładności. W dobie wszechobecne…

zagadka-ile-to-jest-55x55-67345d5.jpg
width: 1600
height: 1200

Wzory skróconego mnożenia wielomiany: zastosowanie i przykłady
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj praktyczne wzory skróconego mnożenia wielomiany, naucz się skutecznie rozkładać wyrażenia algebraiczne i upraszczaj trudne równania. Sprawdź już teraz!
encoded: Wzory skróconego mnożenia wielomiany są niezbędnym narzędziem podczas przekształcania i rozkładu wyrażeń algebraicznych, zwłaszcza przy pracy z wielomianami. Poznanie takich formuł jak kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów czy sześcian sumy pozwala szybko przejść od skomplikowanej sumy do prostego iloczynu. Praktyka rozkładania wielomianu na czynniki dzięki wzorom sprawia, że rozwiązywanie równań oraz analiza wyrażeń algebraicznych staje się o wiele bardziej przejrzysta. Stosowanie wzorów skróconego mnożenia w połączeniu z wyciąganiem wspólnego czynnika przed nawias czy metodą grupowania wyrazów otwiera drogę do efektywnego upraszczania nawet bardzo złożonych wyrażeń. Znajomość wariantów tych wzorów przydaje się również przy wielomianach wyższych stopni i wyrażeniach zawierających więcej składników. Kluczowe wzory skróconego mnożenia dla wielomianów Najważniejsze wzory skróconego mnożenia Wzory skróconego mnożenia wielomiany stanowią fundament przy upraszczaniu i przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. Kluczowe wzory to: Kwadrat sumy: ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2) Kwadrat różnicy: ((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2) Różnica kwadratów: (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) Sześcian sumy: ((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) Sześcian różnicy: ((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) Suma sześcianów: (a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)) Różnica sześcianów: (a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)) Dla większej liczby składników stosuje się uogólnione wzory, jak np. ((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc), a także wersje dla wyższych potęg, wykorzystujące trójkąt Pascala czy wzór na rozwinięcie potęgi sumy. Znaczenie wzorów skróconego mnożenia w pracy z wielomianami Wzory skróconego mnożenia wielomiany pomagają: ułatwić upraszczanie wyrażeń algebraicznych, pozwalając zamienić rozbudowane sumy na zwięzłe iloczyny, przeprowadzić rozkład wielomianu na czynniki, czyli przedstawić wielomian w postaci iloczynowej, przyspieszyć rozwiązywanie równań wielomianowych i znajdowanie miejsc zerowych. Nieje…

Dziewczynka-w-klasie-d0173ce.jpg
width: 1600
height: 1200

Wszystkie wzory skróconego mnożenia: kwadrat i sześcian
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj wszystkie wzory skróconego mnożenia. Ułatw sobie obliczenia, przekształcanie i rozkładanie wyrażeń algebraicznych. Skorzystaj już dziś!
encoded: Wszystkie wzory skróconego mnożenia stanowią niezastąpione narzędzia w codziennej pracy z algebrą. Dzięki nim możliwe staje się szybkie rozkładanie, upraszczanie i przekształcanie wyrażeń, zarówno podczas obliczania kwadratów liczb w pamięci, jak i podczas egzaminacyjnych zadań z funkcjami czy ułamkami algebraicznymi. Ich praktyczna wartość objawia się zwłaszcza przy kwadracie sumy, różnicy, sześcianie czy redukcji skomplikowanych równań. Znajomość zestawu takich wzorów jak (a+b)², (a-b)², a²-b², (a+b)³ czy (a-b)³, a także sumy i różnicy sześcianów, pomaga nie tylko przyspieszyć działania, lecz również rozpoznawać sytuacje, w których można zamienić standardowe mnożenie i potęgowanie na prostsze przekształcenia algebraiczne. Warto regularnie ćwiczyć ich zastosowanie, korzystając z przykładów liczbowych i praktycznych technik zapamiętywania, ponieważ opanowanie tych reguł jest podstawą dalszej nauki matematyki. Czym są wzory skróconego mnożenia i dlaczego warto je znać Definicja i rola algebraicznych wzorów matematycznych Wzory skróconego mnożenia to zestaw podstawowych tożsamości algebraicznych, które upraszczają potęgowanie i mnożenie wyrażeń. Do najważniejszych należą wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnicę kwadratów czy sześcian sumy i różnicy [4]. Każdy z tych wzorów pozwala wyrazić złożone działania w prostszej formie, co znacząco skraca czas liczenia i minimalizuje ryzyko błędów rachunkowych. Takie algebraiczne wzory matematyczne są fundamentem podczas nauki przekształcania wyrażeń i rozwiązywania równań w szkole. Główne zastosowania wzorów skróconego mnożenia w matematyce Wzory skróconego mnożenia wykorzystuje się na co dzień do: szybkich obliczeń arytmetycznych (np. mentalne liczenie kwadratów i sześcianów liczb), przekształcania i upraszczania wyrażeń algebraicznych, rozwiązywania równań kwadratowych i wyższych, upraszczania ułamków algebraicznych, usuwania niewymierności z mianownika wyrażenia, dowodzenia nierówności oraz obliczania granic w analizi…

Korepetycje-z-matematyki-fe567c8.jpg
width: 1600
height: 1200

Dziecku wystarczy 30 sekund, rodzice się męczą. Zagadka z samymi 4 przerasta dorosłych
type: item
date: 2025-11-24T10:03:41.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: Z pozoru banalne działanie matematyczne na poziomie szkoły podstawowej potrafi rozłożyć dorosłych na łopatki. Sprawdź, czy potrafisz rozwiązać zagadkę z samymi czwórkami.
encoded: Na pierwszy rzut oka to banalne zadanie: (4−4)×4−4÷4. Dziecko w wieku szkolnym rozwiązuje je w kilkadziesiąt sekund. Dorośli natomiast często wpadają w pułapkę – i to nie z powodu trudności obliczeń, lecz przez zapomniane zasady arytmetyki. Zadanie to idealnie pokazuje, jak łatwo można się pomylić, jeśli nie pamięta się dokładnej kolejności wykonywania działań. I choć tego uczymy się już w podstawówce, okazuje się, że lata bez praktyki mogą zrobić swoje. Kolejność wykonywania działań – gdzie popełniamy błędy? Działania matematyczne dla dzieci mają swoją jasno określoną strukturę, której należy się trzymać. Kolejność wykonywania działań to: Najpierw nawiasy. Potem potęgowanie. Następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej). Na końcu dodawanie i odejmowanie (także od lewej do prawej). Właśnie w tej kolejności trzeba podejść do zagadki matematycznej, która obiega internet i sprawia kłopoty dorosłym. Błędy w obliczeniach dorosłych wynikają najczęściej z pomijania nawiasów lub zamiany kolejności działań. Ile to jest (4−4)×4−4÷4? Prawidłowa odpowiedź Zadanie 4−4×4−4÷4 wydaje się proste, ale wymaga skupienia. Nie chodzi tylko o wynik, ale o proces myślowy, który do niego prowadzi. Czas na rozwiązanie. Najpierw wykonujemy działanie w nawiasie. Następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej strony). Na samym końcu odejmujemy. Obliczenia powinny zatem wyglądać tak: (4−4)×4−4÷4=? 0×4−4÷4=? 0−4÷4=? 0−1=-1 Prawidłowa odpowiedź to: -1, czyli odpowiedź A. Działanie matematyczne z czwórkami doskonale pokazuje, jak łatwo można wpaść w pułapkę rutyny i zapomnieć o tym, co kiedyś było oczywiste. Dlaczego warto wracać do podstaw matematyki? Ta zagadka matematyczna dla dorosłych udowadnia, że nawet najprostsze działania mogą nas zaskoczyć. Dlaczego więc warto czasem wrócić do podstaw matematyki? To świetny trening pamięci i koncentracji Pomaga w utrzymaniu umysłu w dobrej formie Chroni przed błędami w codziennych sytuacjach, gdzie trzeba coś policzyć „w głowie”. Zadanie z 4 dla…

zagadka-ile-to-jest-44444-1e619ce.jpg
width: 1600
height: 1200

Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia z przykładami i wyjaśnieniem
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj wzory skróconego mnożenia 3 stopnia i ucz się, jak szybciej upraszczać wielomiany oraz rozwiązywać równania trzeciego stopnia. Sprawdź!
encoded: Wzory skróconego mnożenia 3 stopnia pozwalają szybko przekształcać i upraszczać złożone wielomiany. Obliczenie sześcianu sumy, sześcianu różnicy, sumy sześcianów czy różnicy sześcianów nie musi oznaczać czasochłonnego wymnażania, wystarczy znać konkretne wzory, które znacząco skracają rachunki. Ta umiejętność jest szczególnie pomocna podczas rozkładania wielomianów na czynniki, rozwiązywania równań czy przy usuwaniu niewymierności z mianownika zawierającego pierwiastki trzeciego stopnia. Stosowanie wzorów skróconego mnożenia 3 stopnia nie tylko przyspiesza pracę z wyrażeniami algebraicznymi, ale też rozwija zdolność rozpoznawania schematów w matematyce. Regularne ćwiczenia na szkolnych przykładach przekładają się na sprawniejsze rozwiązywanie typowych zadań oraz lepsze przygotowanie do egzaminów. Czym są wzory skróconego mnożenia 3 stopnia? Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia to zestaw uniwersalnych tożsamości algebraicznych dotyczących sześcianów sum, sześcianów różnic oraz sumy i różnicy sześcianów. Stosujemy je, aby szybciej i prościej rozpisywać wielomiany trzeciego stopnia oraz przekształcać wyrażenia algebraiczne, szczególnie podczas rozwiązywania równań i rozkładania wielomianów na czynniki. Poniżej znajdziesz najważniejsze wzory: Sześcian sumy: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Sześcian różnicy: (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ Suma sześcianów: a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²) Różnica sześcianów: a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²) To podstawowe narzędzia, które pomagają w algebraicznych przekształceniach i upraszczaniu rachunków w matematyce licealnej, a także podczas rozwiązywania równań algebraicznych i pracy z wielomianami trzeciego stopnia. Wyjaśnienie i praktyczne przykłady użycia każdego wzoru Sześcian sumy: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Wzór ten pozwala bardzo szybko rozpisać podniesienie sumy dwóch wyrażeń do trzeciej potęgi, bez konieczności wielokrotnego wymnażania. Jest używany często przy rozkładaniu wielomianów do trzeciej potęgi oraz podczas uprasz…

Korepetycje-z-matematyki-6122aa5.jpg
width: 1600
height: 1200

Wzory skróconego mnożenia 4 stopnia: definicja i przykłady
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Poznaj wzory skróconego mnożenia 4 stopnia i błyskawicznie upraszczaj wyrażenia algebraiczne. Zyskaj pewność podczas rachunków i rozwiązywania równań!
encoded: Wzory skróconego mnożenia 4 stopnia znacząco przyspieszają operacje na wyrażeniach algebraicznych wysokiego stopnia, szczególnie podczas potęgowania wielomianów czy rozkładania ich na czynniki. Pozwalają zredukować liczbę rachunków i minimalizują ryzyko błędów w długich przekształceniach. Rozwinięcia takich wyrażeń jak (a+b)⁴ czy (a−b)⁴ bazują na współczynnikach z trójkąta Pascala, a kluczowe jest tu właściwe rozpisanie znaków. Znajomość wzorów skróconego mnożenia 4 stopnia przydaje się zarówno podczas szybkich obliczeń potęg liczb bliskich wartościom „pełnym”, jak i w uproszczeniach skomplikowanych wyrażeń algebraicznych czy w zadaniach egzaminacyjnych. Rozkładanie wyrażeń typu a⁴−b⁴ na czynniki to fundament dalszych działań z wielomianami oraz rozwiązywania równań. Definicja i znaczenie wzorów skróconego mnożenia 4 stopnia Czym są wzory skróconego mnożenia 4 stopnia Wzory skróconego mnożenia 4 stopnia to tzw. tożsamości algebraiczne pozwalające szybko rozwijać i przekształcać wyrażenia takie jak potęgi sumy lub różnicy, różnice potęg oraz rozkładać wielomiany na czynniki. Najprostsze przykłady znane są z wykładnika drugiego i trzeciego, natomiast dla czwartego stopnia mamy takie przypadki jak rozwinięcie (a+b)⁴, (a−b)⁴ czy różnica czwartych potęg a⁴−b⁴. Zastosowanie wzorów w przekształcaniu wyrażeń algebraicznych Wzory skróconego mnożenia są nieocenione w szybkim przekształcaniu wyrażeń zawierających potęgi wyższych stopni, pozwalając zamieniać postać zwartą (z nawiasami i potęgą) na rozwiniętą (sumę odpowiednich wyrazów) oraz odwrotnie. Dzięki nim można rozłożyć wielomiany na czynniki, prowadzić działania na pierwiastkach czy usuwać niewymierność z mianownika. Korzyści z używania wzorów przy rachunkach i przekształceniach Stosowanie wzorów skróconego mnożenia 4 stopnia zdecydowanie przyspiesza rachunki, bo zamiast żmudnego wymnażania i zbierania wyrazów podobnych, dostajesz od razu gotową sumę składników. Ogranicza to ryzyko popełnienia błędów, pozwala wygodnie r…

Dziewczynka-i-chlopiec-w-klasie-10c8f37.jpg
width: 1600
height: 1200

To banalna zagadka dla dzieci, a dorośli się wykładają. Zapominają o ważnej zasadzie
type: item
date: 2025-11-21T10:01:26.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Aktualności
subject: Rodzina
subject: matematyka
subject: zagadki
description: To z pozoru proste działanie sprawia trudność wielu dorosłym. Choć wygląda banalnie, wymaga znajomości podstawowej kolejności wykonywania działań i zasady mnożenia przez 0. A ty znasz poprawną odpowiedź?
encoded: Pozornie proste równanie 1+1+1+1+1x0+1 wywołuje niemałe zamieszanie wśród dorosłych internautów. To działanie, choć wygląda na poziomie szkoły podstawowej, pokazuje, jak łatwo można popełnić błąd, jeśli nie przestrzega się zasad arytmetyki. To doskonały przykład matematycznej pułapki, która ujawnia luki w wiedzy dorosłych. Jak wygląda prawidłowa kolejność działań? Aby poprawnie rozwiązać działanie 1+1+1+1+1x0+1, należy przypomnieć sobie kolejność wykonywania działań, czyli: najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie potęgowanie, dalej mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej strony), na końcu dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej strony). Wielu ludzi rozwiązuje równanie od lewej do prawej, co skutkuje błędnym wynikiem. Dodatkowo, jeśli ktoś zignoruje fakt, że mnożenie przez zero daje zawsze zero, może uzyskać nieprawidłową odpowiedź. Ile to jest 1+1+1+1+1x0+1? Odpowiedź Kluczowym problemem jest brak zastosowania prawidłowej kolejności działań i nieznajomość zasady mnożenia przez 0. To podstawowe błędy, który prowadzi do nieporozumień i zaskakujących odpowiedzi. W działaniu 1+1+1+1+1x0+1 występuje jedynie mnożenie i dodawanie. Dlatego najpierw wykonujemy mnożenie, pamiętając, że mnożąc przez 0, otrzymujemy 0: 1×0 = 0 Następnie dodajemy pozostałe liczby: 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 5 Poprawna odpowiedź to 5, czyli odpowiedź B. Działanie to należy rozwiązać, zachowując hierarchię działań matematycznych. Błąd popełniają ci, którzy wykonują działania wyłącznie od lewej do prawej, bez uwzględnienia pierwszeństwa mnożenia. View oEmbed on the source website To równanie jest doskonałym przykładem na to, jak pozornie proste zadanie może wywołać błędy u dorosłych. Przypomina, że nawet podstawowe zasady, jeśli nie są regularnie używane, mogą zostać zapomniane. Warto zaznaczyć, że nie chodzi wyłącznie o znajomość matematyki, ale o umiejętność logicznego i dokładnego myślenia. Tego typu banalna zagadka matematyczna może pełnić rolę testu uważności i przypomnienia sobi…

zagadka-ile-to-jest-11111x01-050c479.jpg
width: 1600
height: 1200

Wzory skróconego mnożenia z przykładami i zastosowaniem
type: item
creator: Elżbieta Żołek
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: edukacja
subject: matematyka
subject: sprawdzian
description: Wzory skróconego mnożenia ułatwiają szybkie rozwiązywanie równań i upraszczanie wyrażeń algebraicznych. Poznaj przykłady i skuteczne techniki!
encoded: Wzory skróconego mnożenia to zestaw narzędzi, które znacząco upraszczają pracę z wyrażeniami algebraicznymi na każdym etapie nauki matematyki. Opanowanie takich wzorów jak kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy czy suma i różnica sześcianów pozwala na szybkie przekształcanie równań, sprawne rozwiązywanie zadań oraz skracanie ułamków bez zbędnych obliczeń. Znajomość wzorów skróconego mnożenia jest niezbędna na egzaminach, w codziennej nauce i podczas liczenia „w głowie”, na przykład gdy chcesz policzyć 102² lub uprościć skomplikowane wyrażenie algebraiczne bez kalkulatora. Regularne ćwiczenie ich rozpoznawania i stosowania minimalizuje ryzyko błędów i przygotowuje do bardziej zaawansowanych tematów matematycznych. Czym są wzory skróconego mnożenia i kiedy się je stosuje Definicja i istota wzorów skróconego mnożenia Wzory skróconego mnożenia to zestaw reguł matematycznych, które upraszczają potęgowanie i mnożenie wyrażeń algebraicznych. Dzięki nim można szybko obliczyć potęgi sumy, różnicy czy łatwo rozłożyć złożone wyrażenia na czynniki. Przykładowo, zamiast liczyć (a+b) × (a+b), skorzystaj z wzoru: (a+b)² = a² + 2ab + b². Te wzory działają dla wszystkich liczb rzeczywistych, zespolonych i innych pierścieni przemiennych, bo wynikają z podstawowych właściwości działań matematycznych, takich jak przemienność, łączność i rozdzielność. Dlaczego warto znać i stosować wzory skróconego mnożenia Zamiast wykonywać żmudne mnożenie lub potęgowanie krok po kroku, wzory skróconego mnożenia przyspieszają rachunki oraz upraszczają przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Pozwalają również szybciej wykonywać działania „w pamięci” i zmniejszają ryzyko błędów rachunkowych. Znajomość wzorów skróconego mnożenia jest kluczowa podczas rozwiązywania równań, skracania ułamków algebraicznych czy usuwania niewymierności z mianownika. Typowe sytuacje zastosowania: zadania szkolne, egzamin ósmoklasisty, matura Z wzorów skróconego mnożenia korzysta się w zadaniach szkolny…

Dwie-kobiety-z-zeszytami--fbdf6a3.jpg
width: 1600
height: 1200

Nie 10 i nie 100. Tyle godzin korepetycji z matematyki wystarczy, by zdać maturę
type: item
date: 2025-09-03T08:47:52.000Z
creator: redakcjamamotoja
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: matematyka
subject: nauka
description: Rodzice często liczą na cud, ale matematyka nie wybacza zaległości. Oto konkretne liczby i sprawdzone schematy.
encoded: Kiedy słyszę od innych rodziców, że „wystarczy kilka godzin przed maturą”, mam ochotę zapytać: naprawdę wierzycie w cuda? Matematyka nie wybacza zaległości. To przedmiot, w którym brak jednego ogniwa potrafi zawalić całą konstrukcję. A przecież właśnie z tego powodu korepetycje z matematyki stały się niemal obowiązkowym elementem edukacji licealistów. Dlaczego w ogóle korepetycje z matematyki? Wielu rodziców zadaje sobie pytanie: skoro dziecko chodzi do szkoły, ma lekcje, zadania domowe i nauczyciela, to po co jeszcze płacić za dodatkowe zajęcia? Sama długo się nad tym zastanawiałam. Odpowiedź przyszła szybciej, niż myślałam – wtedy, gdy moje dziecko zaczęło wracać z lekcji matematyki z poczuciem kompletnej bezradności. Okazało się, że na lekcji nie nadąża, bo tempo jest za szybkie. Nie pyta, bo się wstydzi. Zadań nie rozumie, a zaległości piętrzą się jak klocki Jenga. Jedno przesunięcie i całość się wali. Korepetycje pozwalają zatrzymać ten proces, złapać oddech i cofnąć się do momentu, w którym wszystko zaczęło się komplikować. Ile godzin korepetycji z matematyki naprawdę wystarczy? Rodzice chcieliby prostego wzoru: tyle godzin = zdana matura. Niestety, nie istnieje. Z doświadczenia swojego i znajomych wiem jednak, że są pewne schematy. Jeśli dziecko w miarę radzi sobie na lekcjach, ale chce powtórzyć materiał i poczuć się pewniej – często wystarczy 1 godzina tygodniowo przez cały rok szkolny. To daje około 30–35 spotkań, czyli 30–35 godzin solidnej pracy. Jeśli jednak uczeń ma poważne zaległości – na przykład nigdy nie zrozumiał proporcji, ułamków czy równań – godzina tygodniowo to zdecydowanie za mało. W takich przypadkach sprawdzają się 2, a nawet 3 spotkania w tygodniu. Łatwo policzyć: przez cały rok to ponad 100 godzin dodatkowej matematyki. Systematyczność ważniejsza niż sprint Najczęstszy błąd rodziców? Szukanie korepetytora w marcu, tuż przed maturą. Znam wielu uczniów, którzy wtedy zaczynają, licząc, że „intensywny kurs” uratuje sytuację. Problem w tym, ż…

Korepetycje-z-matematyki-6e60452.jpg
width: 1200
height: 900

Dziecinnie proste równanie. Dziecko rozwiąże, a dorosły policzy źle
type: item
date: 2023-11-29T11:42:22.000Z
creator: Luiza Słuszniak
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: matematyka
subject: szkoła podstawowa
subject: zagadki dla dzieci
description: Uczniowie 5 klasy rozwiążą to raz-dwa, a dorośli? Osoby, które już jakiś czas temu skończyły szkołę – mogą mieć problem z obliczeniem prawidłowego wyniku.
encoded: Płacąc kartą, nie musimy już przeliczać, czy sprzedawca dobrze wydał nam resztę. Odpowiednią liczbę kalorii, białek, węglowodanów i tłuszczów stali bywalcy siłowni obliczają na kalkulatorach. Sama sięgam po kalkulator, gdy piekę ciasto i chcę zwiększyć proporcje składników np. o 1,5... Okazuje się, że do rozwiązania poniższej zagadki wystarczy najwyżej kartka i długopis. A może i samo liczenie w pamięci? 4 + 2 x 6 ÷ 3 + 7 = x Klucz to… kolejność działań Gdy sięgniemy pamięcią do lekcji matematyki z podstawówki, z pewnością przypomnimy sobie, że obliczenia tego typu należy robić w odpowiedniej kolejności. Że pierwszeństwo zawsze mają działania w nawiasach. A w następnej kolejności działania takie jak mnożenie i dzielenie. Ale co jeśli w zadaniu nawiasów brak i występuje mnożenie oraz dzielenie? Uczniowie szkoły podstawowej najczęściej nie mają problemu z rozwiązaniem tej zagadki. Wiedzą, że wówczas należy najpierw obliczyć mnożenie lub dzielenie, które występuje jako pierwsze w kolejności. W przypadku naszego zadania jest to mnożenie: 2 x 6, a następnie dzielenie. 4 + 2 x 6 ÷ 3 + 7 = x 4 + 12 ÷ 3 + 7 = x 4 + 4 + 7 = 15 Prawidłowe rozwiązanie to: 15. Zobacz także: Każde dziecko rodzi się ze zdolnościami matematycznymi. Co się z nimi, do licha, potem dzieje? Liczby naturalne: definicja. Jak się oznacza liczby naturalne? Zabawy z kanapy dla zmęczonych rodziców

img26h2rG-75e9382.png
width: 1080
height: 1080

Matura z matematyki 2023: zmiany, wymagania, arkusze
type: item
date: 2023-01-31T12:14:00.000Z
creator: Joanna Biegaj
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: matematyka
subject: matura
subject: uczeń
description: Matura z matematyki w 2023 roku nie będzie bardzo różnić się od egzaminu z dwóch poprzednich lat. Utrzymano próg, który gwarantuje zdanie egzaminu na poziomie podstawowym, ale zadań maturalnych będzie mniej. Podajemy terminy oraz zagadnienia na maturę z matematyki 2023.
encoded: Matura z matematyki w zakresie podstawowym odbędzie się 8 maja 2023 (poniedziałek) o godz. 9:00, a w wersji rozszerzonej – 12 maja 2023 (piątek) o godz. 9:00. Z kolei egzamin maturalny z matematyki na poziomie rozszerzonym w terminie dodatkowym odbędzie się 2 czerwca 2023 roku o godzinie 14:00. Na maturę z matematyki można przynieść: linijkę, kalkulator prosty, cyrkiel. Każdy maturzysta otrzyma na czas egzaminu tablice matematyczne. Spis treści: Matura z matematyki 2023 – mniejsze wymagania Zagadnienia na maturę z matematyki w 2023 roku Matura z matematyki 2022: arkusze maturalne Matura z matematyki 2023 – mniejsze wymagania Minister edukacji Przemysław Czarnek zapowiedział w styczniu, że wymagania na maturze 2023 zostaną obniżone – będą obowiązywać wymagania podstawy programowej zredukowane o ok. 20-25 proc. Dotyczy to także egzaminu z matematyki. Matura z matematyki będzie więc łatwiejsza. Matura z matematyki w wersji podstawowej będzie trwała 180 minut i obejmie zadania, za które będzie można otrzymać maksimum 46 punktów (przy pełnym zakresie wymagań było to 50 punktów). Arkusz egzaminacyjny będzie zawierał zadania zamknięte, za które można uzyskać maksymalnie 29 punktów (przy pełnym zakresie wymagań było to 25 punktów), oraz 7-13 zadań otwartych (przy pełnym zakresie wymagań było to 9-15 zadań). Aby zdać maturę z matematyki 2023 na poziomie podstawowym, nadal trzeba uzyskać minimum 30 proc. punktów. 30-procentowy próg zdawalności nie będzie jednak obowiązywał w przypadku matury z matematyki na poziomie rozszerzonym. Wymagania egzaminacyjne na maturze 2023 z matematyki (poziom podstawowy): zakres wymagań ograniczony o ok. 25 proc., czas trwania – 180 minut, liczba punktów do uzyskania – 46, liczba punktów za zadania zamknięte – 29, liczba zadań otwartych – 7-13. Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym Egzamin maturalny z matematyki na poziomie rozszerzonym zostanie przeprowadzany na podstawie wymagań egzaminacyjnych zawierających ograniczony zakres wymagań p…

imgZTSfsp-cd4b0bc.jpg
width: 1200
height: 862

Tabliczka mnożenia na palcach: metoda krok po kroku
type: item
date: 2022-07-15T06:20:00.000Z
subject: Małe dziecko
subject: Wychowanie
subject: matematyka
subject: nauka liczenia
description: Metoda nauki tabliczki mnożenia na palcach to sprytny sposób, by dziecko nauczyło się błyskawicznie mnożyć. W końcu każde dziecko musi nauczyć się tabliczki mnożenia, ale wcale nie trzeba jej wkuwać na pamięć!
encoded: Tabliczka mnożenia bywa nie lada wyzwaniem dla uczniów. Na szczęście możesz szybko nauczyć dziecko mnożenia na palcach. Ta metoda jest niezawodna i bardzo łatwa. Pozwala mnożyć w zakresie 100, a w tym celu trzeba opanować dodawanie i mnożenie w zakresie 10. Tabliczka mnożenia na palcach – podstawy O ile mnożenie do 5 jest dla dzieci całkiem łatwe, to potem robi się trudniej. I właśnie tabliczka mnożenia na palcach pomaga opanować mnożenie w zakresie liczb od 6 do 9. Do mnożenia na palcach używa się obu dłoni i trzeba mieć je obie przed oczami. Na początek przyjmujemy, że zamknięta pięść oznacza 5. Jeśli wyprostujemy jeden palec, to taki gest oznacza 6 (pięść 5 + 1 palec = 6). I dalej analogicznie. Dla porządku podajemy całość kombinacji poniżej: wyprostowany jeden palec oznacza cyfrę 6 (pięść 5 + 1 palec = 6) wyprostowane 2 palce oznaczają cyfrę 7 (pięść 5 + 2 palce = 7), wyprostowane 3 palce oznaczają cyfrę 8 (pięść 5 + 3 palce = 8), wyprostowane 4 palce oznaczają cyfrę 9 (pięść 5 + 4 palce = 9). Mając do dyspozycji 2 dłonie, możemy każdą z nich utworzyć cyfry od 6 do 9. Można zatem przejść do mnożenia tych cyfr przez siebie. Wystarczy jedną ręką utworzyć pierwszą z cyfr, a drugą dłonią drugą cyfrę, które chcemy przez siebie pomnożyć. Mnożone przez siebie cyfry pokazujemy na dłoniach, prostując odpowiednią liczbę palców. I dalej: wyprostowane palce obu dłoni sumujemy – to jest liczba dziesiątek, liczby zgiętych palców mnożymy przez siebie – to jest liczba jedności. liczba dziesiątek i liczba jedności daje dwucyfrowy wynik mnożenia. Aby łatwiej to zrozumieć, poniżej podajemy dwa przykłady wraz ze zdjęciami. Tabliczka mnożenia na palcach – przykłady Pomnóżmy 7 x 7. W tym celu u obu zamkniętych w pięści dłoni prostujemy po dwa palce, aby uzyskać cyfrę 7 i 7: Suma wyprostowanych palców, w tym przypadku 4, daje liczbę dziesiątek (do cyfry dodajemy końcówkę: -dzieści, -dziesiąt, -dzieścia), czyli w tym przypadku będzie to 40 (4 + końcówka: -dzieści). Ile palców zostało z…

xyy6Pt-122216-a4b9e24.jpg
width: 1200
height: 800

Wzór na długość odcinka
type: item
date: 2022-07-06T08:54:00.000Z
creator: kstawiarska
subject: Edukacja
subject: Uczeń
subject: geometria
subject: matematyka
subject: wzory matematyczne
description: Długość odcinka jest częścią pomiędzy dwoma punktami wraz z tymi punktami. Odcinek nazwać można małymi literami, mając na uwadze ich długości.
encoded: Wcześniej wspomniane małe litery oznaczające długość odcinka, wyznaczają jego początek i koniec. Należą one do odcinka i jego półprostej. Spis treści: Wzór na długość odcinka Długość odcinka w układzie współrzędnych Definicje i właściwości odcinka Przykładowe zadanie Wzór na długość odcinka Wzór na długość odcinka wygląda następująco: Długość odcinka w układzie współrzędnych Wzór na długość odcinka między dwoma punktami na układzie współrzędnych wygląda następująco: A = (XA;YA) | B = (XB;YB) |AB| = (XB – XA)2 + (YB – YA)2 Definicje i właściwości odcinka Zanim przystąpicie do jakichkolwiek równań na długość odcinka, warto, żebyście zapoznali się z definicją oraz właściwościami prostej, półprostej oraz odcinka: Prosta – jest linią, która nie posiada początku oraz końca. Długość prostej jest nieskończona. Prostą opisać można jako opis funkcyjny, lecz nie można tą funkcją opisać prostych prostopadłych. Używa się wtedy funkcji odwrotnej. Prostą można również opisać dwoma punktami, przez które dana prosta przechodzi. Może przechodzić tylko jedna. Półprosta – jest ona równa połowie prostej. W tym przypadku posiada punkt początkowy, lecz nie ma końca, ponieważ ciągnie się w nieskończoność. Nie da się jej podzielić na dwie równe proste, gdyż jej długość jest nieskończona. Jeśli półprosta przechodzi przez dwa punkty, to pierwszy punkt jest punktem początkowym, a drugi wskazuje zwrot oraz kierunek półprostej. Odcinek – jest wycinkiem prostej z punktem końcowym oraz początkowym. Każdy odcinek dzieli się na równe części i można powtarzać to w nieskończoność. Odcinek również zapisany może być jako wektor kierunkowy o równej długości. Przykładowe zadanie Oblicz odległość pomiędzy punktami: A = (-10,2) B = (4, 7) Rozwiązanie: |AB| = _/(4 – (-10))2 + (7 – 2)2 = _/142 + 52 = _/196 + 25 = _/221 = 14,866

img4JInHL-6a7d1ee.jpg
width: 3000
height: 2000