Funkcja homograficzna – definicja, wzór i wykres

Funkcja homograficzna jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej, którą zapisuje się wzorem f(x) = (ax + b) / (cx + d), gdzie c ≠ 0 i ad − bc ≠ 0. Kluczowe dla tej funkcji są jej charakterystyczne własności: dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych oprócz x = –d/c, a jej wykres to hiperbola z dwiema prostymi asymptotycznymi, pionową i poziomą.

Przekształcenie wzoru do postaci kanonicznej, czyli f(x) = r / (x – p) + q, ułatwia analizę zachowania funkcji homograficznej oraz wyznaczanie asymptot. Zbiór wartości obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste oprócz y = a/c. Ten typ funkcji znajdziesz nie tylko w matematyce; spotykany jest również w fizyce i kartografii, dzięki czemu jego znajomość pozwala rozwiązywać różnorodne zadania.

Definicja i charakterystyka funkcji homograficznej

Co to jest funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to szczególny przypadek funkcji wymiernej o wzorze:

f(x) = (ax + b) / (cx + d),

gdzie a, b, c, d to ustalone liczby rzeczywiste, c ≠ 0 oraz ad − bc ≠ 0. Warunek c ≠ 0 zapewnia, że w mianowniku jest zmienna, a wyznacznik ad − bc ≠ 0 chroni przed powtarzaniem tych samych wyrażeń w liczniku i mianowniku, co prowadziłoby do funkcji stałej zamiast homograficznej. Ogólną postać wzoru funkcji homograficznej uznaje się za wyjście do analizy jej własności i wykresu.

Funkcja homograficzna a funkcja wymierna

Funkcja homograficzna należy do funkcji wymiernych, ale wyróżnia ją właśnie opisany wyżej wzór: w liczniku i mianowniku występują wyrażenia liniowe. Typową funkcję wymierną można rozpoznać po tym, że jej licznik albo mianownik to dowolne wielomiany, natomiast funkcję homograficzną poznasz po tym, że oba te wyrażenia mają stopień co najwyżej pierwszy i spełniają warunek ad − bc ≠ 0. Dzięki temu można szybko odróżnić funkcję homograficzną od innych funkcji wymiernych, które np. mają kwadrat lub wyższą potęgę w jednym z wyrażeń.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji homograficznej

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji homograficznej

Dziedzina funkcji homograficznej to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem tej, która zeruje mianownik. Założenie dla mianownika to cx + d ≠ 0, więc z równania cx + d = 0 wynika, że wykluczony punkt to x ≠ –d/c. Tylko w tym miejscu funkcja nie jest określona.

Zbiór wartości funkcji homograficznej

Zbiór wartości (przeciwdziedzina) tej funkcji również jest niemal całym zbiorem liczb rzeczywistych; jedyną wykluczoną wartością jest y = a/c. Funkcja nigdy jej nie przyjmuje, bo prowadziłoby to do sprzeczności z warunkiem ad − bc ≠ 0. Na przykład: jeśli masz f(x) = (2x + 3) / (x – 1), zbiór wartości to liczby rzeczywiste bez 2.

Przekształcanie wzoru: postać ogólna i kanoniczna

Przejście do postaci kanonicznej

Aby lepiej analizować wykres funkcji homograficznej, przekształcamy wzór do postaci kanonicznej:

f(x) = r / (x – p) + q.

Parametry r, p, q uzyskujemy z przekształcenia wzoru ogólnego, a wyniki interpretuje się następująco: p to miejsce wykluczone z dziedziny, r decyduje o kształcie hiperboli (skierowanie i „rozciągnięcie”), q określa przesunięcie wykresu względem osi OY (poziomej).

Przykłady przekształceń do postaci kanonicznej

Przykład:

f(x) = (x + 2)/(x – 3).

Rozkładamy licznik względem mianownika: (x – 3) + 5, więc:

f(x) = (x – 3) / (x – 3) + 5 / (x – 3) = 1 + 5/(x – 3).

Ostatecznie: f(x) = 5/(x – 3) + 1, gdzie r = 5, p = 3, q = 1.

Wskazówka praktyczna: zawsze rozbijaj licznik na część proporcjonalną do mianownika i resztę. Trudności często dotyczą działań na ułamkach i wyłączania wspólnej części.

Własności funkcji homograficznej

Monotoniczność funkcji homograficznej

Funkcja homograficzna jest zawsze monotoniczna w każdym z przedziałów wyznaczonych przez asymptotę pionową, czyli x ≠ –d/c. To znaczy: na każdym z tych dwóch przedziałów wykres systematycznie rośnie lub maleje w zależności od znaków współczynników.

Ogólnie:

dla wyznacznika (ad – bc) > 0, funkcja jest rosnąca na obu przedziałach,
dla (ad – bc) < 0, funkcja jest malejąca na obu przedziałach.

Monotoniczność przełamuje się tylko w punkcie wykluczonym, gdzie przebiega asymptota.

Różnowartościowość i inne cechy szczególne

Funkcja homograficzna jest różnowartościowa. Oznacza to, że dla dwóch różnych argumentów nie może przyjmować tej samej wartości. Nie ma wartości największej ani najmniejszej i nie jest ograniczona. Na tle ogólnych funkcji wymiernych wyróżnia się też wyraźnie obecnością dwóch prostych asymptot.

Wykres funkcji homograficznej

Hiperbola jako wykres funkcji homograficznej

Wykres funkcji homograficznej to zawsze hiperbola. Postać kanoniczna od razu podpowiada przesunięcie tej hiperboli względem środka układu, konkretnie o wektor (p, q): poziomo o p, pionowo o q.

Asymptoty wykresu

W przypadku funkcji f(x) = (ax + b)/(cx + d):

asymptota pionowa: x = –d/c (wynika z warunku zakazu dzielenia przez zero),
asymptota pozioma: y = a/c (wynika z ograniczenia przeciwdziedziny),
punkt symetrii to S = (–d/c, a/c) - dokładnie tam przecinają się asymptoty i wokół tego punktu wykres jest symetryczny.

Sposób rysowania wykresu na podstawie postaci kanonicznej

Żeby szybko naszkicować wykres:

Wyznaczasz asymptotę pionową (x = p) i poziomą (y = q).
Ustawiasz środek symetrii wykresu w punkcie (p, q).
Rysujesz hiperbolę opartą o te asymptoty, zwracając uwagę na znak r, który decyduje, w których ćwiartkach znajdzie się wykres.

Przykład: f(x) = 5/(x–3) + 1 – asymptoty x=3, y=1; hiperbolę rysujesz w I i III ćwiartce (r > 0).

Przykłady i zastosowania funkcji homograficznej

Przykłady funkcji homograficznych i wymiernych

Przykłady funkcji homograficznych:

f(x) = (2x + 1)/(x – 4)
f(x) = (5 – 3x)/(2x + 7)

Oba wyrażenia są liniowe i spełniają warunek ad – bc ≠ 0.

Dla porównania, funkcja wymierna w szerszym znaczeniu to choćby f(x) = (x^2 + 1)/(x – 3), czyli licznik lub mianownik może być wielomianem wyższego stopnia. Funkcję homograficzną rozpoznasz po prostym kształcie wyrażeń.

Analiza praktycznych przykładów wykresów i przekształceń

Przekształcając f(x) = (x + 2)/(x – 3), dostajemy postać kanoniczną 5/(x – 3) + 1. Na wykresie hiperbola jest przesunięta równolegle względem obu osi o trzy jednostki w prawo (x=3) i jedną jednostkę w górę (y=1). Każdy taki schemat pozwala szybko określić symetrię i wygląd funkcji homograficznej.

Funkcja homograficzna w matematyce i naukach stosowanych

Funkcje homograficzne spotkasz nie tylko na lekcji matematyki. Są wykorzystywane w naukach stosowanych, m.in. w optyce geometrycznej (równania soczewek, zwierciadeł), efektach optycznych (np. wzór na efekt Dopplera), a także w kartografii, gdzie przekształcenia homograficzne pomagają w odwzorowaniach map.

Najczęstsze pytania i problemy uczniów

Kiedy funkcją jest funkcja homograficzna?

Funkcją homograficzną jest wyłącznie taka funkcja wymierna, w której licznik i mianownik są liniowe i spełniają warunek ad − bc ≠ 0 oraz c ≠ 0. Jeżeli którykolwiek z tych warunków przestaje być prawdziwy, funkcja nie jest homograficzną.

Czy funkcja homograficzna i funkcja wymierna to to samo?

Nie każda funkcja wymierna jest homograficzna, ale każda funkcja homograficzna należy do funkcji wymiernych. Funkcja wymierna to każda, której wzór to iloraz wielomianów. Funkcja homograficzna to przypadek, w którym te wielomiany są stopnia pierwszego i spełniony jest warunek ad−bc ≠ 0.

Jak wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości na przykładach?

Wyznaczanie dziedziny:
Dla f(x) = (3x + 1)/(x – 2): mianownik nie może być zerem, czyli x ≠ 2.

Wyznaczanie zbioru wartości:
Sprowadzasz do postaci kanonicznej i sprawdzasz, której wartości y funkcja nie przyjmuje, czyli y ≠ a/c. Dla powyższego przykładu: liczba a = 3, c = 1, więc y ≠ 3. Wszystkie inne wartości są możliwe.

Ciekawostki i dodatkowe informacje

Relacja funkcji homograficznej do funkcji odwrotnej i proporcjonalności odwrotnej

Ciekawą własnością funkcji homograficznej jest jej bliski związek z funkcją odwrotną (y = 1/x) oraz proporcjonalnością odwrotną. Wzór w postaci kanonicznej przypomina właśnie funkcję odwrotną przesuniętą lub przekształconą względem osi. Stąd często używa się analogicznych metod analizy wykresu.

Wyjątkowe własności geometryczne i algebraiczne

Homografia reprezentuje ważny rodzaj przekształcenia geometrycznego, jest przesunięciem hiperboli w układzie współrzędnych. Z algebrą wiąże ją możliwość przedstawienia z użyciem macierzy nieosobliwych 2x2. Zbiór wszystkich funkcji homograficznych nad danym ciałem matematycznym tworzy tzw. grupę przekształceń.

Podsumowanie

Funkcja homograficzna to wyraźnie określony przypadek funkcji wymiernej o wzorze f(x) = (ax + b)/(cx + d), z jednym miejscem wykluczonym z dziedziny i wyłuszczoną wartością, której nigdy nie przyjmuje. Jej wykres to zawsze przesunięta hiperbola, z dwiema asymptotami prostymi oraz punktem symetrii. Wyróżnia się prostą budową wzoru, łatwością przekształceń do postaci kanonicznej i różnowartościowością.

Dzięki regularnym własnościom i powtarzalnym cechom, funkcje homograficzne są szeroko stosowane w matematyce i naukach ścisłych, a ich analiza dobrze przygotowuje do rozwiązywania zadań tekstowych, interpretacji wykresów i praktycznych problemów z geometrii czy fizyki.