Funkcja liniowa – definicja, wzory i przykłady zadań

Funkcja liniowa to zależność liczbową przedstawioną równaniem y = ax + b, w którym a oznacza współczynnik kierunkowy, a b wyraz wolny. Taki zapis umożliwia dokładne określenie, jak zmiana jednej wartości wpływa na drugą, a wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta. W praktyce wystarczy wyznaczyć dwa punkty, by narysować jej wykres i zobaczyć, czy funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.

Rozpoznanie własności funkcji liniowej, takich jak monotoniczność, miejsca przecięcia z osiami oraz wyliczanie miejsc zerowych, to podstawa nie tylko przy rozwiązywaniu typowych zadań szkolnych, ale także na maturze. Poznanie wzoru funkcji liniowej i jej przykładowych zastosowań pomaga utrwalić praktyczne umiejętności, które przydadzą się w analizie różnych problemów matematycznych.

Definicja funkcji liniowej – co to jest?

Funkcja liniowa to funkcja matematyczna określona wzorem:
y = ax + b

W tym wzorze:

a to współczynnik kierunkowy prostej,
b to wyraz wolny.

Funkcja liniowa opisuje zależność liniową między dwiema zmiennymi – jeśli jedna z nich zmienia się o określoną wartość, druga zmienia się proporcjonalnie. Wykresem funkcji liniowej jest zawsze linia prosta, która może być nachylona (rośnie lub maleje) lub pozioma (funkcja stała, gdy a = 0), lecz nigdy zakrzywiona.

O funkcji liniowej mówimy zarówno wtedy, gdy a ≠ 0 (czyli funkcja nie jest stała), jak i wtedy, gdy a = 0 (funkcja stała). W literaturze można spotkać obydwa podejścia.

Wzór funkcji liniowej – postać ogólna i kierunkowa

Najczęściej używany wzór funkcji liniowej to:
y = ax + b

a – współczynnik kierunkowy decydujący o tym, jak stromo przebiega wykres funkcji liniowej,
b – wyraz wolny, czyli miejsce przecięcia się wykresu z osią Y.

W praktyce funkcja liniowa może być zapisana w różnych postaciach:

postać kierunkowa: y = ax + b,
postać ogólna: Ax + By + C = 0, gdzie można to przekształcić do y = ax + b,
rzadziej stosowana postać odcinkowa, wskazująca, gdzie wykres przecina osie układu współrzędnych.

Warto umieć przekształcać między tymi postaciami, szczególnie przy zadaniach wymagających analizy lub tworzenia wykresu funkcji liniowej.

Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny – jak je rozumieć?

Współczynnik kierunkowy (a)

To właśnie od wartości a zależy, czy funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca czy stała:

Jeśli a > 0, wykres funkcji liniowej idzie w górę od lewej do prawej – funkcja jest rosnąca.
Jeśli a < 0, wykres opada w prawo – funkcja jest malejąca.
Jeśli a = 0, wykres to pozioma linia – funkcja jest stała.

Współczynnik kierunkowy wyznacza kąt nachylenia prostej do osi X: im większa wartość bezwzględna a, tym wykres jest bardziej stromy. W praktyce możesz sobie wyobrazić, że a określa, ile jednostek w górę lub w dół przesuwa się wykres przy przesunięciu w prawo o jedną jednostkę x.

Wyraz wolny (b)

Wyraz wolny b pokazuje, gdzie wykres funkcji liniowej przecina oś Y, czyli odpowiada wartości funkcji dla x = 0.

Na przykład, jeśli masz funkcję liniową y = 3x – 2, to wykres przetnie oś Y w punkcie (0, –2).

Własności funkcji liniowej

1. Monotoniczność funkcji liniowej

Monotoniczność funkcji liniowej rozpoznasz łatwo po współczynniku kierunkowym:

Funkcja jest rosnąca, gdy a > 0,
Malejąca, gdy a < 0,
Stała, gdy a = 0.

To, czy funkcja „wznosi się” czy „opada”, rozpoznasz także od razu po wykresie – wystarczy spojrzeć na nachylenie prostej.

2. Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe, czyli miejsce przecięcia wykresu z osią X, obliczysz, podstawiając y = 0:
0 = ax + b

Dzięki temu otrzymujesz wzór:
x₀ = –b/a (pod warunkiem, że a ≠ 0)

Jeśli a = 0 i b ≠ 0, funkcja stała nie ma miejsca zerowego. Dla funkcji liniowej o wzorze y = 0, miejsc zerowych jest nieskończenie wiele – cała oś X to miejsca zerowe.

3. Dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej (poza przypadkiem funkcji stałej) i jej zbiorem wartości są wszystkie liczby rzeczywiste. W przypadku funkcji stałej dziedzina to nadal ℝ, lecz wartości to już zbiór jednoelementowy (stała liczba).

4. Wykres funkcji liniowej i interpretacja graficzna

Wykres funkcji liniowej to linia prosta. Aby go narysować, wystarczy znaleźć dwa punkty (dla dwóch różnych wartości x), obliczyć odpowiadające im wartości y i połączyć punkty prostą. Wartość wyrazu wolnego b od razu pokazuje na wykresie, gdzie prosta przecina oś Y. Współczynnik kierunkowy a odpowiada za stromość wykresu – na przykład, jeśli a = 2, prosta z każdym krokiem w prawo (o 1) idzie o 2 do góry.

Interpretacja graficzna funkcji liniowej ułatwia szybkie sprawdzenie, czy funkcja rośnie, maleje lub jest stała, oraz oszacowanie miejsc przecięcia z osiami.

5. Proste równoległe i prostopadłe

Dwie proste są równoległe, jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy a.
Są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi –1, czyli: a₁ × a₂ = –1.

Te zależności bardzo często pojawiają się na maturze i w szkolnych zadaniach z funkcji liniowej.

Jak obliczyć funkcję liniową krok po kroku?

Odczytaj lub zapisz wzór funkcji liniowej (np. y = ax + b).
Zidentyfikuj współczynnik kierunkowy (a) i wyraz wolny (b).
Aby narysować wykres, podstaw za x dowolne dwie wartości, wylicz do nich y i zaznacz te punkty w układzie współrzędnych.
Wyznacz miejsca przecięcia z osiami:
- Oś Y: podstaw x = 0, odczytaj y = b.
- Oś X: podstaw y = 0, rozwiąż równanie x = –b/a.
Analizuj monotoniczność na podstawie współczynnika kierunkowego a.
Jeśli polecenie dotyczy funkcji przechodzącej przez dwa punkty (x₁, y₁), (x₂, y₂):
- Wyznacz współczynnik kierunkowy ze wzoru: a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
- Podstaw dane do ogólnego wzoru funkcji i rozwiąż układ równań, by znaleźć b.

Przykłady zadań z funkcji liniowej i rozwiązania

Przykład 1
Dana jest funkcja liniowa f(x) = 2x + 4.

Współczynnik kierunkowy a = 2, funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny b = 4, wykres przecina oś Y w punkcie (0, 4).
Miejsce zerowe: 0 = 2x + 4 → 2x = –4 → x = –2.

Przykład 2
Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A(2, 6) i B(6, 14).

Liczymy współczynnik kierunkowy:
a = (14 – 6) / (6 – 2) = 8 / 4 = 2
Podstawiamy do wzoru: y = 2x + b.
Znajdujemy b, podstawiając np. punkt A:
6 = 2*2 + b → 6 = 4 + b → b = 2
Wzór funkcji: y = 2x + 2.

Przykład 3
Sprawdź, czy punkt C(1, 3) należy do wykresu funkcji y = 2x + 1.

Podstawiamy x = 1, otrzymujemy y = 2*1 + 1 = 3. Punkt należy do wykresu.

Zadania z funkcji liniowej – najczęstsze motywy maturalne

Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty.
Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej.
Zbadaj, czy dwa wykresy są równoległe lub prostopadłe.
Sprawdź, czy dany punkt należy do wykresu funkcji liniowej.
Zinterpretuj graficznie parametry funkcji w odniesieniu do wykresu.
Rozwiąż układ równań dwóch funkcji liniowych poprzez wyznaczenie punktu przecięcia.

Praca na przykładach i zadaniach jest najskuteczniejszym sposobem utrwalenia wiedzy, co potwierdzają doświadczenia z matur oraz sprawdzianów.

Funkcja liniowa to narzędzie bardzo uniwersalne i proste do opanowania. Kiedy zrozumiesz zależność między a i b, łatwiej będzie Ci analizować wykresy i rozwiązywać zadania. Trening, rozwiązywanie typowych zadań z funkcji liniowej i ćwiczenie odczytywania informacji z wykresu bardzo pomagają w nauce – nie tylko pod kątem egzaminu. Warto regularnie powtarzać przykłady i sprawdzać rozwiązania krok po kroku, by szybko nabrać pewności w pracy z funkcją liniową.